Intérieur et norme produit

OShine
OShine
dans Analyse
Bonsoir,

Je bloque sur le passage encadré, je ne comprends pas comment l'obtenir.124782

Réponses

  • rakam
    rakam
    C'est quoi la "norme produit" ?
    On peut définir beaucoup de normes sur un produit cartésien deux espaces normés : le "la norme..." je ne comprends pas.

    En lisant leur démo je pense qu'ils ont pris la norme du max des normes...
  • Alexique
    Alexique
    Topic inutile OS encore une fois.
    Tu as $||(x,y)-(a,b)||<r$ ie $||(x-a,y-b)||<r$ et tu dois arriver à $||x-a||<r$ ET $||y-b||<r$...
    Ben la question c'est : "qu'est-ce que par définition $||(u,v)||$ ?"
    Si tu ne vois pas que c'est ça ta question...
    Et donc ensuite à toi de deviner comme le fait rakam (c'est quand même pas bien dur) ou d'aller voir dans ton bouquin la définition de la norme produit puisqu'ils disent explicitement "Par définition de la norme produit". C'est écrit en énorme et tu ne vois rien.

    Bref, désolant. Peut-être qu'un jour tu comprendras que quand tu critiques les corrigés de concours, c'est pas de la faute des rédacteurs mais souvent ta paraisse intellectuelle. Si tu viens poster pour si peu, évidemment, sur un corrigé de concours de BAC+2/BAC+5 de 10 pages qui s'adresse à des gens avertis et sérieux et qui réfléchissent un minimum, tu es largué. C'est normal, tu lis comme un roman (et encore, il y a de l'implicite, de l'ironie, bref des non dits dans un roman avec un peu de valeur et il faut savoir lire entre les lignes).
  • OShine
    OShine
    Mon problème n'est pas la définition de la norme produit, mais le passage encadré, c'est de la logique je pense.

    Rakam tu penses juste, dans le cours du livre, on ne donne qu'une norme produit.

    On note indifféremment $||.||$ les normes de $E$, $F$ et $E \times F$. Rappelons que par définition de la norme produit on a :

    $\forall (x,y) \in E \times F \ ||(x,y)||= \max( ||x||,||y||)$

    Proposition (dans le livre) :

    Soit $p \in \N^{*}$ ainsi que $p$ espaces vectoriels normés $(E_1,\varphi_1), \cdots, (E_p,\varphi_p)$ sur $\K$. Alors l'application :

    $\varphi : E_1 \times \cdots \times E_p \longrightarrow \R^{+} \\ (x_1, \cdots, x_p) \mapsto \max( \varphi_1(x_1), \cdots, \varphi_p(x_p))$ est une norme, et munit donc l'espace produit $E_1 \times \cdots \times E_p $ d'une structure d'espace vectoriel normé.
    Cette norme est appelée norme produit.
  • raoul.S
    raoul.S
    Oui c'est bien un problème de logique OShine. Essaie de trouver le moyen de passer de la première implication à l'affirmation de l'encadré rouge tout seul comme un grand.

    Donc on prend un $x\in E$ tel que $\|x-a\|<r$, comment en déduire que $x\in A$ à l'aide de la première implication ?
  • OShine
    OShine
    Merci Raoul.S je crois avoir une idée.

    Je pense qu'il faut choisir une valeur de $y$ bien précise, $y=b \in F$ nous donne $||y-b||=0 <r$ qui est quelque chose de toujours vrai car $r>0$.

    On a donc $\forall x \in E \ \ ( ||x-a|| < r \ \ \text{ET} \ VRAI ) \implies (x,b) \in A \times B$

    Or $ ( ||x-a|| < r \ \ \text{ET} \ VRAI ) = ( ||x-a|| < r)$

    Donc $\forall x \in E \ \ ( ||x-a|| < r ) \implies (x,b) \in A \times B$

    Mais $ (x,b) \in A \times B \implies x \in A$ et par transitivité de l'implication on obtient finalement :

    $\boxed{\forall x \in E \ \ ||x-a|| < r \implies x \in A}$
  • raoul.S
    raoul.S
    Oui (tu)

    Évidemment on obtient de la même façon l'autre implication de l'encadré rouge.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je pense que les Shtameurs devraient prendre exemple sur OShine. Il a de mauvaises habitudes, et il a la tête dure, mais il n'est pas dans le déni total et quand il suit nos conseils, ça finit par marcher et il progresse.
  • OShine
    OShine
    La suite de l'exercice pour ceux intéressés. J'essaie de faire sans regarder le corrigé.

    2) Montrer que $Adh(A \times B)=Adh(A) \times Adh(B)$
    En déduire que le produit cartésien de deux fermés est un fermé.

    Montrons que $Adh(A \times B) \subset Adh(A) \times Adh(B)$

    Soit $(x,y) \in Adh(A \times B)$. Alors il existe une suite $((a_n,b_n))$ d'éléments de $A \times B$ qui converge vers $(x,y)$. D'après le cours sur la convergence au sens de la norme infinie d'une suite dans un espace produit, on a $a_n \longrightarrow x$ et $b_n \longrightarrow y$.
    Mais $(a_n)$ est une suite d'éléments de $A$ et $(b_n)$ une suite d'éléments de $B$, on en déduit que $x \in Adh(A)$ et $y \in Adh(B)$.

    D'où $(x,y) \in Adh(A) \times Adh(B)$

    Réciproquement, soit $(x,y) \in Adh(A) \times Adh(B)$. Par définition, $x \in Adh(A)$ et $y \in Adh(B)$.

    Ainsi, il existe des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ d'éléments de $A$ et $B$ qui convergent vers $x$ et $y$. Donc $(a_n,b_n) \longrightarrow (x,y)$
    Mais $((a_n,b_n))$ est une suite à valeurs dans $A \times B$ qui converge vers $(x,y)$.

    Donc $(x,y) \in Adh(A \times B)$

    On a montré $\boxed{Adh(A \times B)=Adh(A) \times Adh(B)}$

    Soient $A$ et $B$ des fermés alors $Adh(A)=A$ et $Adh(B)=B$ donc $Adh(A \times B = A \times B$ donc $A \times B$ est un fermé.

    3) Montrer que $Fr(A \times B)= (Adh(A) \times Fr(B) ) \cup (Fr(A) \times Adh(B))$.

    Par définition $Fr(A \times B)=Adh (A \times B) \backslash Int(A \times B)$

    D'après les questions précédentes $Fr(A \times B)=\left( Adh(A) \times Adh(B) \right) \backslash \left(Int(A) \times Int(B) \right)$

    Après je bloque.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Tu sais aussi que $Fr(A) = Adh(A) \setminus Int(A)$ ! Le reste, c'est de la distributivité. La théorie des ensembles...
  • OShine
    OShine
    J'ai relu le cours de théorie des ensemble de MPSI, mais je ne trouve pas quelle formule utiliser. Il n'y a rien sur le produit cartésien d'ensembles.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Fais un petit dessin : $X$ en abscisse, $Y$ en ordonnée, puis $W \subset X$ et $Z \subset Y$. On veut savoir à quoi ressemble $(X \times Y) \setminus (W \times Z)$. Qu'en penses-tu ?
  • OShine
    OShine
    Voici mon dessin mais je ne vois pas quoi en faire.124792
    1.png 15.6K
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Essaie d'exprimer le truc en fonction de $X$, $Y$, $W$, $Z$ et surtout $X\setminus W$ et $Y \setminus Z$
  • OShine
    OShine
    $(X \backslash W) \times (Y \backslash Z)$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Mais tu vois bien sur ton dessin que c'est faux, voyons !
  • OShine
    OShine
    Je ne sais pas honnêtement. Je n'ai pas trouvé.
  • Alexique
    Alexique
    Déjà Homo Topi parlait de WxZ et toi sur ton dessin c’est ZxW (ou en tout cas c’est ce que tu as mis…)
  • OShine
    OShine
    $A \times B = B \times A$ non ?
  • Cere
    Cere
    OShine
    Donc : $\mathbb{R}\times [0,1] = [0,1]\times \mathbb{R}$ ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • OShine
    OShine
    Je ne vois pas la différence.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Bon, à la rigueur, pour mon exercice, on s'en fiche tant qu'il garde les notations consistantes.

    Sur ton dessin, colorie $X \setminus W$ et $Y \setminus Z$ en une autre couleur, disons en orange. Après, colorie $(X \setminus W) \times (Y \setminus Z)$ en orange aussi. Et tu verras bien ce qu'il se passe.

    Au passage : si tu fais un exercice (comme ici sur la topologie) et que tu bloques sur un autre truc, la réaction naturelle est de mettre l'exercice en pause et de chercher à combler sa lacune en premier. Une fois que c'est fait, on retourne sur l'exo. Ici, ta lacune, c'est un truc de théorie des ensembles. Tu connais un peu de TDE alors tu peux chercher à combler ta lacune par toi-même avant de venir demander sur le forum. Je ne sais pas si tu regardes mes fils de discussion de loin, mais tu verras que je débarque rarement sans avoir déjà fait le maximum de ce à quoi j'ai réussi à penser.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Pourtant la différence est énorme ! Est-ce que $\Big( \dfrac{1}{2} ; 2\Big) \in \R \times [0;1]$ ? C'est grave !
  • raoul.S
    raoul.S
    Non mais OShine voulait probablement dire que ces deux ensembles sont "égaux" dans le sens qu'ils sont équipotents... B-)-
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Peut-être que c'est ce qu'il voulait dire, mais ce n'est pas ce qu'il a écrit.
  • Cere
    Cere
    Je crois qu'OShine ne fait, entre autre, pas la différence entre : $(1,2)$, $(2,1)$, $\{1,2\}$.
    Mais résoudre ce problème divague surement trop de la question initiale.

    Comme l'a très justement dit Homo Topi, il faudrait qu'il comble ses lacunes pour retourner à l'exo.

    @OShine, au lieu de répondre: "je ne vois pas la différence" sans même avoir réfléchi, tu devrais prendre un papier et essayer de prouver qu'il n'y a pas de différence. Tu verras sûrement rapidement une absurdité.
  • OShine
    OShine
    Homo Topi même dans le MOOC que je fais sur la théorie naïve des ensembles, il n'y a rien sur le produit cartésien d'ensemble. Tu as beaucoup de connaissances !

    Mais avec le dessin et vos explications j'ai trouvé, même si j'ai mis 2 jours à comprendre.

    @Cere
    En effet.

    Soit $W \subset X$ et $Z \subset Y)$.

    On a $\boxed{(X \times Y) \backslash (W \times Z) = [ (X \backslash W) \times Y] \cup [(Y \backslash Z) \times X]}$

    Cela permet de conclure l'exercice en remarquant que $Adh(A) \backslash Int(A) = Fr(A)$ et $Adh(B) \backslash Int(B) = Fr(B)$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Voilà. Ce genre de "sous-exercices" quand tu tombes sur une lacune, il faut te les poser à toi-même et essayer de les résoudre. Parfois, dézoomer ça aide (comme ici j'ai remplacé tes adhérences/intérieurs par des ensembles quelconques). C'est aussi comme ça qu'on comprend exactement où sont nos lacunes.

    A propos de la théorie des ensembles : un jour, j'en ai eu ras le bol que dans mes cours, on n'avait jamais refait les choses "à partir de rien". J'avais un truc pour construire $\Z$ à partir de $\N$, un pour construire $\Q$ à partir de $\Z$, un pour construire $\R$ à partir de $\Q$ et un un pour construire $\C$ à partir de $\R$. Mais je ne savais pas construire $\N$, donc je ne savais pas assez. Alors je me suis demandé comment construire $\N$, il doit y avoir un fil très vieux dans la partie Fondements à propos de ça. J'ai appris une construction de $\N$ dans ZFC, donc ça, je sais faire. Mes cours d'analyse réelle supposaient les axiomes de Peano pour $\N$, je les ai démontrés dans ZFC ; de même, ils supposaient une caractérisation de $\R$, je l'ai démontrée dans ZFC. Donc je peux comprendre toutes les preuves de mes cours d'analyse réelle en entier maintenant.

    En parallèle, je m'étais posée la question "d'où elle sort, exactement, l'indéterminée $X$ des polynômes ?" et ça m'a mené tout droit dans l'algèbre universelle (avec les structures algébriques libres) et les catégories, où j'ai eu besoin d'apprendre à manier une extension de ZFC (j'ai choisi la théorie des classes avec les axiomes NBG) puisque les axiomes de ZFC ne suffisaient plus pour faire les choses vraiment proprement (théorème HSP de Birkhoff). Ces choses-là ne sont pas du tout au programme de l'agreg, mais je m'y suis intéressé quand même parce que c'est ça qui me dérangeait en maths, ne pas savoir faire tout ce que je suis censé avoir appris dans ZFC. Je me sens nettement mieux depuis ! Et encore, je n'ai pas tout revu.

    Au début, ce n'est que de la curiosité mathématique. Si on y reste accroché, ça finit par des connaissances, à condition de faire le travail nécessaire. Si tu es moins curieux que moi, tu apprendras moins de maths, mais ça c'est le cas de plein de monde et ils le vivent très bien. Et après, il y a ceux qui sont plus curieux que moi, ils ont appris plus de maths que moi mais ont pu passer moins de temps à faire autre chose que des maths... ça dépend de nos centres d'intérêt et de nos priorités. Fais exactement autant de maths que tu veux, c'est ça l'essentiel. Pour certains, ça veut dire ne faire que des maths, parce qu'ils sont passionnés au point qu'il n'y a que ça qui les anime. Pour d'autres, c'est un hobby parmi plusieurs. Comme disaient les grecs, connais-toi toi-même.
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