La constante de Foias
Un copain vient de me faire connaître la constante de Foias, qui a une drôle d'histoire.
Ciprian Foias (1933-2020) est un mathématicien roumain. Au milieu des années 1970, un de ses anciens étudiants de l'université de Bucarest lui a posé la question suivante :
Si $ x_1 > 0$ et $x_{n+1} = (1 +\frac1{x_n})^n $ pour $n \in \mathbb N^*$, se peut-il que $x_n \rightarrow +\infty$ ?
Ce problème figurait dans un numéro d'automne de l’excellente revue roumaine « Gazeta Matematica » comme l'un des problèmes posés lors de l'examen d'admission de l'été précédent pour les futurs étudiants de première année du département de mathématiques de l'université de Bucarest.
Foias a trouvé rapidement la réponse, mais il a observé que le problème dépassait même le niveau de la deuxième année. Il a constaté aussi que cet énoncé provenait d'une faute d'impression, et que la vraie question, posée par le professeur Nicu Boboc, était :
Si $ x_1 > 0$ et $x_{n+1} = (1 +\frac1{x_n})^{x_n} $ pour $n \in \mathbb N^*$, se peut-il que $x_n \rightarrow +\infty$ ?
Question d'examen appropriée, dans le cadre des suites récurrentes classiques $x_{n+1}=f(x_n)$, avec la réponse « Non ».
Cette faute d'impression a donc donné naissance à un autre problème, très intéressant. Dans les années 1980, Foias a raconté l'histoire à Paul Halmos, qui à son tour en a fait part à John Ewing, mais par malice n'a pas mentionné la solution de Foias, et Ewing a aussi trouvé la réponse. Cette réponse est très curieuse : il y a une seule valeur de $x_1$ pour laquelle $x_n \rightarrow +\infty$, c'est $x_1 \simeq 1,1874523511$. Ce nombre est connu désormais comme la constante de Foias.
En 2020, le jury du Concours général français a donné un énoncé qui traite cette question sous l'appellation « Un nombre explosif », avec une méthode de résolution à la portée de la Terminale française actuelle, ce qui est un beau tour de force. Malheureusement, l'épreuve n'a pu avoir lieu pour cause de crise sanitaire, mais le texte demeure disponible : https://eduscol.education.fr/1463/concours-general-sujets-2020.
Question annexe : ayant été naguère membre de ce jury, il me souvient que la rétribution est calculée au nombre de copies corrigées, en sorte que tout le travail d'élaboration des énoncés de cette année 2020 est probablement resté sans rétribution, ce qui est tout de même un peu fort.
Bibliographie.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Foias
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ciprian_Foiaș
J. Ewing and C. Foias, An interesting serendiptous real number, in : Finite Versus Infinite : Contributions to an Eternal Dilemma, ed. C. S. Calude and G. Paun, Springer-Verlag, 2000,pp. 119–126.
11/07/2021
Ciprian Foias (1933-2020) est un mathématicien roumain. Au milieu des années 1970, un de ses anciens étudiants de l'université de Bucarest lui a posé la question suivante :
Si $ x_1 > 0$ et $x_{n+1} = (1 +\frac1{x_n})^n $ pour $n \in \mathbb N^*$, se peut-il que $x_n \rightarrow +\infty$ ?
Ce problème figurait dans un numéro d'automne de l’excellente revue roumaine « Gazeta Matematica » comme l'un des problèmes posés lors de l'examen d'admission de l'été précédent pour les futurs étudiants de première année du département de mathématiques de l'université de Bucarest.
Foias a trouvé rapidement la réponse, mais il a observé que le problème dépassait même le niveau de la deuxième année. Il a constaté aussi que cet énoncé provenait d'une faute d'impression, et que la vraie question, posée par le professeur Nicu Boboc, était :
Si $ x_1 > 0$ et $x_{n+1} = (1 +\frac1{x_n})^{x_n} $ pour $n \in \mathbb N^*$, se peut-il que $x_n \rightarrow +\infty$ ?
Question d'examen appropriée, dans le cadre des suites récurrentes classiques $x_{n+1}=f(x_n)$, avec la réponse « Non ».
Cette faute d'impression a donc donné naissance à un autre problème, très intéressant. Dans les années 1980, Foias a raconté l'histoire à Paul Halmos, qui à son tour en a fait part à John Ewing, mais par malice n'a pas mentionné la solution de Foias, et Ewing a aussi trouvé la réponse. Cette réponse est très curieuse : il y a une seule valeur de $x_1$ pour laquelle $x_n \rightarrow +\infty$, c'est $x_1 \simeq 1,1874523511$. Ce nombre est connu désormais comme la constante de Foias.
En 2020, le jury du Concours général français a donné un énoncé qui traite cette question sous l'appellation « Un nombre explosif », avec une méthode de résolution à la portée de la Terminale française actuelle, ce qui est un beau tour de force. Malheureusement, l'épreuve n'a pu avoir lieu pour cause de crise sanitaire, mais le texte demeure disponible : https://eduscol.education.fr/1463/concours-general-sujets-2020.
Question annexe : ayant été naguère membre de ce jury, il me souvient que la rétribution est calculée au nombre de copies corrigées, en sorte que tout le travail d'élaboration des énoncés de cette année 2020 est probablement resté sans rétribution, ce qui est tout de même un peu fort.
Bibliographie.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Foias
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ciprian_Foiaș
J. Ewing and C. Foias, An interesting serendiptous real number, in : Finite Versus Infinite : Contributions to an Eternal Dilemma, ed. C. S. Calude and G. Paun, Springer-Verlag, 2000,pp. 119–126.
11/07/2021
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Réponses
Le deuxième prénom de ce Ewing commence par un R?
...ton univers impitoyaaaableeeee ! X:-(
Autre anecdote, moins amusante, mais néanmoins vraie...
Pierre.
Ben, ça a déjà disparu ! J'arrive trop tard ?
AD, tu devrais supprimer le message, plutôt que de laisser une perche tendue en forme de mirage ...
Cordialement,
Rescassol
[Rien n'a disparu ! Les messages sont tels qu'à l'origine ! AD]
Edit: Bon, fausse alerte, erreur de ma part, toutes mes excuses, AD.
Si vous pouvez retrouvez dans les archives du forum. Merci.
Intéressant, Chaurien. (tu)
L’article de Nicolae Angel Foias Numbers
C’est un très beau sujet pour le CG.