Borner une intégrale définie

evariste21
evariste21
dans Analyse
Bonjour

Problème. Soit $f: I\subseteq \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ una fonction continue et bornée sur $I$. Trouver le plus petit nombre réel $M\in \mathbb{R}_{+}$ tel que $\displaystyle \int_{I}f(t)dt<M.$

Je sais que
$$\int_{I}f(t)dt\leqslant \left| \int_{I}f(t)dt\right|\leqslant \int_{I}|f(t)|dt\leqslant \int_{I}C_{f}dt=C_{f}\cdot\ell(I).

$$ Alors, $M:=C_{f}\cdot \ell(I)$.
Mais je pense que nous pouvons améliorer cette borne, car si nous choisissons la fonction $f (t) = \cos (t)$, alors je pense que nous pouvons montrer que $M=3$.
Merci.

Réponses

  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    C'est moi ou l'énoncé est bizarre ?
  • Gael
    Gael
    Riemann_lapins_cretins
    Ce n'est pas toi.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • evariste21
    evariste21
    Salut,

    C'est une question que je me suis posée. Je me demandais si nous pouvions trouver ce plus petit nombre réel M. Par exemple, pour la fonction cosinus, sinus, etc, il semble que $\int_{I}\cos(x)<3$.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Mais tout réel supérieur à l'intégrale la majore..
  • Gael
    Gael
    " Soit $x \in \mathbf{R}$. Cherchons $\min (\ ]x, +\infty[\ )$. " ?
  • evariste21
    evariste21
    Numériquement, il semble que nous puissions montrer que $\int_{I}\cos(x)<3$, pour tout $I\subset\mathbf{R}$. Mais en utilisant le fait que j'ai prouvé dans mon premier message, nous avons que si $I = [5,0]$, alors $\int_{I}\cos(x)dx\leqslant 5.$ En ce sens, c'est ma question.
  • hunter**
    hunter**
    Riemann : hhhh, c'est un peu étrange, moi encore je pense... mais par rapport à ce que pense evariste21 : en fait tu cherches un majorant quelconque, donc l'erreur va certainement varier d'une fonction à une autre.
  • P.
    P.
    'Etant donne un mur, qu'y a-t-il derriere?'



    Jean Tardieu, 'Le professeur Froepel' Gallimard 1972
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonjour.

    Concernant la valeur de l'intégrale de sin(x) sur un intervalle : l'intégrale de 0 à $\pi$ vaut 2 (résultat classique).

    Partant, quand on augmente l'intervalle, comme les valeurs sur les intervalles $[-\pi, 0]$ et $[\pi, 2\pi]$ sont négatives, l'intégrale dont les bornes sont des valeurs dans ces intervalles, est inférieure à 2.

    Je ne vois pas ce que vient faire 3 là dedans.

    De plus, ce genre de résultat n'est sans doute pas intéressant à généraliser (je pense qu'il ne s'applique qu'aux fonctions périodiques bornées ou au fonctions bornées dont la majoration est connue sur l'intervalle réel complet).

    À bientôt.

    [Édit : Corrections de coquilles et ajout du dernier paragraphe.]

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Fin de partie
    Fin de partie
    $\displaystyle I=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x dx$

    D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
    On a $\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x dx\leq \underbrace{\sqrt{\bigg(\underbrace{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} 1^2 dx}_{=\tfrac{\pi}{2}}\bigg)\bigg(\underbrace{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^2 x dx}_{=\tfrac{\pi}{4}}\bigg)}}_{=\tfrac{\pi}{2\sqrt{2}}}$

    On a $\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}=1,11...$ c'est plus petit que $\dfrac{\pi}{2}=1,57...$ qui serait la majoration obtenue en majorant l'intégrande par $1$.

    C'est sûr que cette majoration n'a pas un grand intérêt puisque on dépense moins d'énergie à calculer directement l'intégrale.

    PS:
    Merci à AD pour la mise en forme. On m'informe, par ailleurs, que Hermann Amandus Schwarz ne prenait pas de thé (il préférait le café?) :-D. Merci pour sa vigilance à celui qui m'a signalé ce t en trop. :-D
  • gerard0
    gerard0
    N'importe comment, on sait tous que "étant donné un nombre $a$, trouver le plus petit réel $M$ tel que $a<M$" est un problème sans solution !!
    Il serait temps que Evariste21 redonne un énoncé sérieux !!
  • evariste21
    evariste21
    @gerard0 : Ma question est le résultat d'essayer de prouver que l'intégrale sur [a, b] de cos (x + (1 / x)) <3 pour tout a, b dans R. Je pensais que nous pouvions trouver une bonne généralisation pour cela, si nous changeons la fonction cosinus avec la fonction sinus, le résultat est vrai.

    Merci à tous pour vos commentaires.
  • gerard0
    gerard0
    Oui, mais te rends-tu compte que ta question avait un gros problème de conception ?

    Cordialement.
  • math2
    math2
    Le premier énoncé, en plus d'être bizarre et dénué de sens, est clairement faux, si $I$ n'est pas borné il est possible qu'aucun réel $M$ satisfasse l'égalité.

    $\int_a^b \cos(x)dx=\sin(b)-\sin(a)$, ceci est majoré par $2$ qui est visiblement la meilleure constante $b=\pi/2$ et $a=-\pi/2$, à condition de remplacer l'inégalité stricte par une inégalité large (sinon évidemment le problème n'a pas de solution)


    Le dernier problème est plus intéressant, je vais regarder si j'ai un peu de temps.
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