Distance à un sous-espace vectoriel
Bonsoir,
Un exercice qui a l'air simple, mais je bloque sur une étape.
On se place dans l'espace des suites réelles bornées, que l'on munit de la norme infinie. Notons $a=(a_n)$ la suite constante égale à $1$ et $\mathcal C_0$ le sous-espace vectoriel des suites tendant vers $0$. Déterminer la distance de $a$ à $\mathcal C_0$.
D'après le cours, on a $d(a,\mathcal C_0)= \inf ( ||a-u|| \ \ u \in \mathcal C_0 \}$ (c'est un rappel que je me suis fait)
Le corrigé :
Je n'ai pas compris pourquoi on prend la norme infinie, comment on sait quelle norme prendre :-S
Je ne comprends pas la partie en vert.
Un exercice qui a l'air simple, mais je bloque sur une étape.
On se place dans l'espace des suites réelles bornées, que l'on munit de la norme infinie. Notons $a=(a_n)$ la suite constante égale à $1$ et $\mathcal C_0$ le sous-espace vectoriel des suites tendant vers $0$. Déterminer la distance de $a$ à $\mathcal C_0$.
D'après le cours, on a $d(a,\mathcal C_0)= \inf ( ||a-u|| \ \ u \in \mathcal C_0 \}$ (c'est un rappel que je me suis fait)
Le corrigé :
- La suite nulle appartient à $\mathcal C_0$ et est à une distance $1$ de la suite $(a_n)$. On a donc $d(a,\mathcal C_0) \leq 1$
- D'autre part, si $(u_n)$ est une suite tendant vers $0$ alors $|a_n-u_n|=|1-u_n| \longrightarrow 1$
Et donc $||a-u||_{\infty} = \sup_{n \in \N} |a_n-u_n| \geq 1$ ce qui prouve $d(a,\mathcal C_0) \geq 1$
Je n'ai pas compris pourquoi on prend la norme infinie, comment on sait quelle norme prendre :-S
Je ne comprends pas la partie en vert.
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Réponses
D'autre part cette norme est la norme usuelle pour cet espace de suite. On aurait pu prendre
$||u||^2=\sum_{n\in \N^*} \dfrac{u_n^2 }{n^2}$ (d'ailleurs en exercice tu peux t'amuser à démontrer que cet exemple est correct ou non) ...
Quant à la partie en vert c'est à toi de voir la définition de la norme infinie.
T'as vu les questions que tu poses? Et en plus à 4h du mat? C'est maladif à ce niveau
En effet, on a $|a_n-u_n| \leq \sup |a_n-u_n|$ donc en passant à la limite on a $1 \leq ||a_n-u_n||_{\infty}$
@Bd017
J'ai vu que la convergence d'une suite d'un un espace vectoriel normé dépendait de la norme, la distance à un sous-espace vectoriel dépend aussi de la norme ?
Tu devrais refaire l'exercice (si tu l'avais fait, je ne me souviens plus) de tracer la boule unité pour les normes $1$, $2$ et $\infty$ dans le plan. C'est un exercice absolument fondamental. Si tu fais l'exercice correctement, tu verras que les trois boules unités n'ont pas la même forme : ça veut bien dire que pour un point $x$ du plan, $d_1(x,0) \neq d_2(x,0) \neq d_{\infty}(x,0)$. Bon, pour certains points, les distances seront égales, mais il n'y en a pas beaucoup... refais cet exercice, sans lire une correction. C'est important et formateur.
Mais du coup pourquoi on dit "la distance de $a$ à $C_0$" s'il y en a plusieurs ?
Un prof de collège devrait savoir qu'un énoncé se lit en entier.
Et qu'il doit prendre sa pause pour son bien aussi.
Et le livre a le droit de ne pas contenir toutes les mathématiques du monde, encore heureux que tu aies des initiatives à prendre de temps en temps. Arrête de répéter "mon livre a dit" ou "mon livre n'a pas dit" à chaque message. Si on te donne un exercice il ne s'agit pas de savoir si le livre l'a déjà fait ou non, et si on te dit quelque chose qui semble contredire ton livre, on a raison et tu as mal lu, ou mal compris, ou c'est une coquille.
Je fais une pause et je me repose car là je manque clairement de lucidité.
Je crois que les 2 MOOCS en parallèle plus le cours sur les espaces vectoriels normés ça fait un peu trop.