Bonjour
$r$ est un réel de $]0,1[$. Parmi toutes les suites $(x_n)$ vérifiant la relation récurrence
$$
x_{n+2}=x_{n+1}+r^{n+1}x_n,
$$ est-ce que vous en verriez une dont on peut expliciter le terme général (en dehors de la suite nulle) ?
Merci d'avance,
Michal
Réponses
L'espace des suites qui vérifient cette relation est un espace vectoriel, de dimension inférieure à 2, (il suffit le premier et 2éme terme pour engendrer la suite complète), du coup faut juste trouver 2 suites indépendantes qui vérifient ceci et vous connaissez la suite.
(Peut être que je dis des bêtises).
J'ai aussi tenté des choses du type, introduire $y_n=x_{n+1}-a_n x_n$, en choisissant la suite $(a_n)_n$ de sorte à avoir une relation uniquement entre $y_n$ et $y_{n+1}$ (ce qui serait alors plus simple) - et donc en annulant le $x_n$, mais la relation sur les $(a_n)_n$ n'est pas exploitable non plus ...
La réponse est négative : pas de solution explicite pour cette suite $x$.
Je ne sais pas le démontrer proprement dit, mais des manipulations utiles mènent à la résolution de $v_n (v_{ n+1}-1)=r^{n +1}$ que l’on sait non résoluble.
Oui c'est ça, et non, je ne sais pas démonter qu'un truc n'est pas résouble. Je sais simplement qu'on a déjà essayé sans rien trouver.
Après tout dépend de ce que l'on appelle "explicite". Par exemple, je peux te dire que (sauf erreur d'indices), en posant
$A_k=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ r^k & 1\end{pmatrix}$, l'expression générale de $u_n$ est la première composante du vecteur $A_n\cdots A_1 X_0$, où $X_0$ est un vecteur arbitraire. Ca ne fait pas tellement avancer si tu souhaites une expression sympa, mais il s'agit bien d'une formule explicite.
Une question beaucoup plus modeste : comment feriez-vous pour démontrer que toute suite vérifiant cette relation de récurrence est bornée ?
Une très modeste réponse:
Soient $(x_n)_n, \:(\widehat x_n)_n$ deux suites obéissant à la relation de récurrence en question et telles que $\widehat x_0 =|x_0|,\:\widehat x_1 =|x_1|.$
Alors: $ \quad \forall n \in \N,\:|x_n|\leqslant \widehat x_n. \:$ Il suffit donc de prouver que la suite $(\widehat x_n)_n$ converge, et la chose est claire lorsque $x_0 =x_1=0.$
Dans le cas contraire, notons: $\forall n\geqslant 2, \:y_n = \dfrac{\widehat x_{n+1}}{\widehat x_n}.\quad$ Alors:$ \forall n \geqslant 2,\quad \:y_n\geqslant 1,\quad 1\leqslant y_{n+1} = 1 +\dfrac{r^{n+1}}{y_n}\leqslant 1+r^n,\quad \displaystyle \lim_{n\to + \infty}y_n =1.$
$\log(\widehat x_{n+2}) - \log(\widehat x_{n+1 }) = \log \left(1+ \dfrac {r^{n+1}}{y_n}\right),\qquad \log(\widehat x_{n+2}) - \log(\widehat x_{n+1 }) \underset{n\to + \infty}{\sim} r^{n+1}, \quad \sum _nr^{n+1}\:\text{converge}, \quad(\widehat x_n)_n\:\text{converge}.$
Jolie preuve sinon, naïvement on voudrait étudier la différence plutôt que le quotient.
Soit $r$ réel donné, $0<r<1$, et une suite complexe $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ satisfaisant à la relation de récurrence : $\forall n \in \mathbb N, x_{n+2}= x_{n+1}+ r^{n+1} x_n$.
$ \bullet$ On suppose d'abord $x_0$ et $x_1$ réels, $0<x_0<x_1$. La suite $x_n$ est strictement croissante.
D'où pour $n \ge 2$ : $0< \ln x_n - \ln x_{n-1}= \ln (1+ r^{n-1} \frac {x_{n-2}} {x_{n-1}})< \ln (1+ r^{n-1} )< r^{n-1} $.
Il en résulte que la suite $x_n$ a une limite finie.
$ \bullet$ Cas général. Pour $r$ réel donné, $0<r<1$, l’ensemble $\mathcal E$ des suites complexes $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ satisfaisant à la relation de récurrence : $\forall n \in \mathbb N, x_{n+2}= x_{n+1}+ r^{n+1} x_n$ est un $ \mathbb C$-espace vectoriel de dimension $2$. Il existe une base de cet espace constituée de deux suites réelles $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb N}$ telles que $0<a_0<a_1$ et $0<b_0<b_1$, par exemple $a_0=1$,$ a_1=2$, $b_0=1$,$ b_1=3$.
Il s'ensuit que toute suite élément de $\mathcal E$ admet une limite finie.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.