Suite récurrente linéaire d'ordre 2

Tu peux chercher des solutions de y' = r^(x+1)y et regarder si les suites (y(n))_n sont solutions

Bonjour
L'espace des suites qui vérifient cette relation est un espace vectoriel, de dimension inférieure à 2, (il suffit le premier et 2éme terme pour engendrer la suite complète), du coup faut juste trouver 2 suites indépendantes qui vérifient ceci et vous connaissez la suite.
(Peut être que je dis des bêtises).

J'aurais bien parlé de la série génératrice mais elle donne lieu à une équation aux différences qui doit ressembler à $t^2rf(rt)=(1-t)f(t)+\cdots$ dont je ne sais rien dire.

Bonjour

La réponse est négative : pas de solution explicite pour cette suite $x$.

Je ne sais pas le démontrer proprement dit, mais des manipulations utiles mènent à la résolution de $v_n (v_{ n+1}-1)=r^{n +1}$ que l’on sait non résoluble.

Bonjour,

Oui c'est ça, et non, je ne sais pas démonter qu'un truc n'est pas résouble. Je sais simplement qu'on a déjà essayé sans rien trouver.

On montre que |Un|<= (|U0|+|U1|)* (Somme des r puiss i) , on procède normalement par récurrence .

Bravo LOU16, je n'avais pas pensé à ce log, qui débloque la situation. Je propose une autre rédaction.
Soit $r$ réel donné, $0<r<1$, et une suite complexe $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ satisfaisant à la relation de récurrence : $\forall n \in \mathbb N, x_{n+2}= x_{n+1}+ r^{n+1} x_n$.
$ \bullet$ On suppose d'abord $x_0$ et $x_1$ réels, $0<x_0<x_1$. La suite $x_n$ est strictement croissante.
D'où pour $n \ge 2$ : $0< \ln x_n - \ln x_{n-1}= \ln (1+ r^{n-1} \frac {x_{n-2}} {x_{n-1}})< \ln (1+ r^{n-1} )< r^{n-1} $.
Il en résulte que la suite $x_n$ a une limite finie.
$ \bullet$ Cas général. Pour $r$ réel donné, $0<r<1$, l’ensemble $\mathcal E$ des suites complexes $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ satisfaisant à la relation de récurrence : $\forall n \in \mathbb N, x_{n+2}= x_{n+1}+ r^{n+1} x_n$ est un $ \mathbb C$-espace vectoriel de dimension $2$. Il existe une base de cet espace constituée de deux suites réelles $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb N}$ telles que $0<a_0<a_1$ et $0<b_0<b_1$, par exemple $a_0=1$,$ a_1=2$, $b_0=1$,$ b_1=3$.
Il s'ensuit que toute suite élément de $\mathcal E$ admet une limite finie.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.