Question sur une non-convergence uniforme

darbouka · July 2021

Bonjour
Dans le tome 4 du livre de JM Monier (à la page 11), l'auteur indique que la convergence locale uniforme d'une suite de fonctions n'entraîne pas la convergence uniforme ; et il illustre ça avec le contre-exemple suivant. Il considère la suite $(f_n)_n$ définie par $f_n : x \mapsto x^n,$ sur $[0; 1[$.
Alors, je comprends que cette suite de fonctions soit convergente localement uniformément sur $[0; 1[$, mais je ne comprends pas pourquoi elle n'est pas uniformément convergente sur ce même intervalle. A priori $f_n (x) \rightarrow 0$ sur $[0; 1[$ lorsque $n \rightarrow \infty$, et je ne vois pas où est le problème pour la non-convergence uniforme. Sur $[0; 1]$, d'accord, il y aurait un problème de continuité en $1$, mais sur $[0; 1[$, je ne vois pas.
Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

gerard0 · July 2021

Bonjour.

Combien vaut $\sup\limits_{x\in [0,1[} (f_n(x)-0)$ ? Conclusion ?

Cordialement.

Riemann_lapins_cretins · July 2021

Pour le dire visuellement, chaque fonction monte très rapidement au voisinage de 1 pour atteindre 1. Il suffit d'étudier la différence à la limite.

Foys · July 2021

Soit $X$ un ensemble, $f:X\to \R$ une fonction, $(f_n)_{n\in \N}$ une suite de fonctions de $X$ dans $\R$.
Il y a équivalence(*) entre:
(i) $(f_n)_{n\in \N}$ converge uniformément vers $f$
(ii) pour toute suite $(x_n)_{n \in \N}$ d'éléments de $X$, $\left | f_n(x_n) - f(x_n)\right | \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.

Donc pour l'exo, on peut essayer de chercher une telle suite pour faire capoter la convergence uniforme.

[size=x-small](*)sous AC pour le sens (ii) => (i) mais il est toujours admis à ce niveau, au moins tacitement, de plus seul le sens (i) => (ii) sert ici.[/size]