Séries associées à l'équation $\cot x=x$
Bonjour. On a plusieurs fois parlé des solutions de l'équation $\tan x=x$, $x \in \mathbb R$. Je rappelle les résultats.
$\bullet $ Pour chaque $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, il existe un seul réel $\lambda_{n}\in\, ]-\frac{\pi }{2}+n\pi ,\frac{\pi }{2}+n\pi \lbrack $ tel que : $\tan \lambda _{n}=\lambda _{n}$. On a : $\lambda _{n}>n\pi $.
On obtient ainsi toutes les solutions réelles positives de l'équation $\tan x=x$.
Cette suite $\lambda_n$ admet le développement limité quand $n \rightarrow + \infty $ : $\lambda _{n}=\pi n+\frac{\pi }{2}-\frac{1}{\pi n}+\frac{1}{2\pi n^{2}}-(\frac{1}{4\pi }+\frac{2}{3\pi ^{3}})\frac{1}{n^{3}}+o(\frac{1}{n^{3}})$.
L'équation $\tan z = z$ n'a pas de solution complexe non réelle.
Plus intéressant, on peut calculer la somme des séries : $\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}
{\lambda _{n}^{2}}=\frac{1}{10}$ et $\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\lambda _{n}^{4}}=\frac{1}{350}$.
Je rappelle ceci pour mémoire, il faudrait retrouver les fils où on en a parlé.
Je me suis posé les mêmes questions pour l'équation : $\cot x=x,\ x \in \mathbb R$.
$\bullet $ Pour chaque $n\in \mathbb{N}$, il existe un seul réel $\alpha _{n}\in\, ]n\pi ,(n+1)\pi \lbrack $ tel que : $\cot \alpha _{n}=\alpha _{n}$. On a : $\alpha _{n}<n\pi +\frac{\pi }{2}$.
On obtient ainsi toutes les solutions réelles positives de l'équation $\cot x=x$.
Cette suite $\alpha_n$ admet le développement limité quand $n \rightarrow + \infty $ : $\alpha _{n}=\pi n+\frac{1}{\pi n}-\frac{4}{3\pi^{3}n^{3}}+\frac{13}{15\pi ^{5}n^{5}}+o(\frac{1}{n^{5}})$.
Ceci a fait l'objet d'une question d'oral de concours : RMS 122-2, janvier 2012, n° 470, p. 72, oral 2011, Mines-Ponts, MP.
L'équation $\cot z = z$ n'a pas de solution complexe non réelle.
On peut encore trouver les sommes des séries : $\displaystyle\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\alpha _{n}^{2}}=\frac{3}{2}$ et $\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\alpha
_{n}^{4}}=\frac{11}{6}$.
J'espère que tout ça est correct.
Bonne journée.
Fr. Ch.
15/07/2021
Edit. Correction de bd2017 infra :
$\alpha _{n}=\pi n+\frac{1}{\pi n}-\frac{4}{3\pi^{3}n^{3}}+\frac{53}{15\pi ^{5}n^{5}}+o(\frac{1}{n^{5}})$. .
$\bullet $ Pour chaque $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, il existe un seul réel $\lambda_{n}\in\, ]-\frac{\pi }{2}+n\pi ,\frac{\pi }{2}+n\pi \lbrack $ tel que : $\tan \lambda _{n}=\lambda _{n}$. On a : $\lambda _{n}>n\pi $.
On obtient ainsi toutes les solutions réelles positives de l'équation $\tan x=x$.
Cette suite $\lambda_n$ admet le développement limité quand $n \rightarrow + \infty $ : $\lambda _{n}=\pi n+\frac{\pi }{2}-\frac{1}{\pi n}+\frac{1}{2\pi n^{2}}-(\frac{1}{4\pi }+\frac{2}{3\pi ^{3}})\frac{1}{n^{3}}+o(\frac{1}{n^{3}})$.
L'équation $\tan z = z$ n'a pas de solution complexe non réelle.
Plus intéressant, on peut calculer la somme des séries : $\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}
{\lambda _{n}^{2}}=\frac{1}{10}$ et $\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\lambda _{n}^{4}}=\frac{1}{350}$.
Je rappelle ceci pour mémoire, il faudrait retrouver les fils où on en a parlé.
Je me suis posé les mêmes questions pour l'équation : $\cot x=x,\ x \in \mathbb R$.
$\bullet $ Pour chaque $n\in \mathbb{N}$, il existe un seul réel $\alpha _{n}\in\, ]n\pi ,(n+1)\pi \lbrack $ tel que : $\cot \alpha _{n}=\alpha _{n}$. On a : $\alpha _{n}<n\pi +\frac{\pi }{2}$.
On obtient ainsi toutes les solutions réelles positives de l'équation $\cot x=x$.
Cette suite $\alpha_n$ admet le développement limité quand $n \rightarrow + \infty $ : $\alpha _{n}=\pi n+\frac{1}{\pi n}-\frac{4}{3\pi^{3}n^{3}}+\frac{13}{15\pi ^{5}n^{5}}+o(\frac{1}{n^{5}})$.
Ceci a fait l'objet d'une question d'oral de concours : RMS 122-2, janvier 2012, n° 470, p. 72, oral 2011, Mines-Ponts, MP.
L'équation $\cot z = z$ n'a pas de solution complexe non réelle.
On peut encore trouver les sommes des séries : $\displaystyle\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\alpha _{n}^{2}}=\frac{3}{2}$ et $\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\alpha
_{n}^{4}}=\frac{11}{6}$.
J'espère que tout ça est correct.
Bonne journée.
Fr. Ch.
15/07/2021
Edit. Correction de bd2017 infra :
$\alpha _{n}=\pi n+\frac{1}{\pi n}-\frac{4}{3\pi^{3}n^{3}}+\frac{53}{15\pi ^{5}n^{5}}+o(\frac{1}{n^{5}})$. .
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Réponses
Souvent, quand je vois une somme de série (ou une intégrale), j'aime savoir qu'elle a "un intérêt" à calculer (autre que l'exercice mathématique en lui-même). Par exemple, est-ce que celle qui vaut $\dfrac{1}{10}$ a une interprétation visuelle sur le graphique de la fonction tangente, des choses comme ça.
Dans le dernier terme du DL de $\alpha_n$ je trouve 53 à la place de 13.
On aussi cette égalité $\sum_{n=0}^\infty \dfrac{ 1}{\color{red}{2}+\alpha_n^2}=\dfrac{1}{2}$
e.v.
Mais à mon tour de te corriger. WolframAlpha me dit que $\alpha_0 \simeq 0,860334$, d'où : $\frac 1{1+\alpha_0^2} \simeq 0,57465 >\frac12 $
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Et après calculs, erreurs, corrections, je trouve : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{ 1}{1 +\alpha_n^2}=\frac 14 (3-\frac 1{e^2}) \simeq 0,71617$.
En espérant qu'aucune vilaine erreur n'a subsisté.
Bonne soirée.
Fr. Ch.