Inégalité

vw · July 2021

Salut
Je cherche une fonction positive $f$ non nulle avec une dérivée strictement positive $f^{\prime}$ qui vérifie :
$$(t+1)f^{\prime}\leq cf(t),\quad \forall t\in\mathbb{R}^+ ,
$$ où $c<\frac{1}{2}$ est une constante positive et avec
$f^{\prime}$ est la dérivée par rapport à $t$,
$f$ et $f^{\prime}$ appartiennent à l'espace$ L^2(\mathbb{R}^+)$.

[Utilisateur supprimé] · July 2021

Les fonctions $f_{\alpha}:t \mapsto e^{-t^{\alpha}}$ pour $\alpha\geq 1$ semblent très bien convenir. Par exemple $t \mapsto e^{-t}$ (la dérivée étant négative et la fonction positive, l'inégalité est vérifiée si $c\geq 0$, et la fonction est de carré intégrable sur $\mathbb{R}_{+}$, tout comme sa dérivée).

vw · July 2021

j'ai oublié de dire que la dérivée de $f$ est strictement positive..je l'ai ajouté dans l'énoncée

lourrran · July 2021

$f(t) = (t+1)^c$ ?

Mais je me dis que j'ai dû rater quelque chose.

bd2017 · July 2021

Bonsoir
A mon avis ça va âtre difficile. f' strictement positive donc f positive et tout ça dans $L^2(R^+)$....

hunter** · July 2021

Ce n'est pas possible, d'avoir une fonction >= 0, dérivable (dont la dérivée est >0) (ie: croissante) et parallèlement dans L2([0,+l'inf[).

vw · July 2021

lourrran ..cette fonction n'appartient pas à $L^2(\mathbb{R}^+)$ avec $c<\frac{1}{2}$
bd2017 &hunter** ..$f$ est positive non nulle, elle est aussi strictement positive.
J'ai aussi la possiblité de changer l'inégalité de cette façon :
$(t+1)\lvert f^{\prime}\rvert\leq c\lvert f(t)\rvert,\quad \forall t\in\mathbb{R}^+$
avec $f$ positive ou négative mais non nulle
et chercher une fonction comme ça avec $f$ et $f^{\prime}$ dans $L^2(\mathbb{R}^+)$ avec $c<\frac{1}{2}$

lourrran · July 2021

Oui.
Dans la journée, j'ai cherché ce que ça pouvait être ce $L^2(R^+)$, parce que je ne connaissais pas cette notation, j'imaginais un truc du genre fonctions 2 fois dérivables ...
Tout faux.
Du coup, effectivement, une fonction (edit : strictement) positive et croissante ne peut pas être (edit n°2 : de carré) intégrable sur $R^+$

Math Coss · July 2021

À une exception près, tu as raison.

Amathoué · July 2021

Salut lourran,

Ton « strictement (fondamentalement ça ne change rien, mais c’est pour être cohérent avec la demande initiale) devrait s’ajouter après « croissante ». Sinon $L^2 (R_+)$ sont les fonctions de carré intégrable sur $R_+$.
Et donc la phrase à écrire serait plutôt:
« Une fonction positive et strictement croissante ne peut être de carré intégrable sur $R_+$ » :-)

lourrran · July 2021

Je sais que j'ai oublié beaucoup de choses depuis mes études, mais là, je doute.
Prenons une fonction strictement positive, et croissante (pas strictement).
On regarde $f(1)$, c'est un réel strictement positif. Et donc, notre fonction $f$, sur [1,infini[, est supérieure à la fonction constante $f(1)$. (non nul)
Et la fonction $f^2$ est supérieure à la fonction contante $f(1)^2$
Comment cette fonction peut-être intégrable sur R+ ?

Mais effectivement, ok sur l'autre correctif, étourderie corrigée.

Amathoué · July 2021

Lourran, tu n’as manifestement pas compris mon message. Je n’ai pas dit que ta phrase était fausse :-).
Je dis juste que la demande initiale est $f$ positive et strictement croissante et non « $f$ strictement positive et croissante ».

Amathoué · July 2021

Et entre nous...j’en ai peut-être oublié plus que toi, de mathématiques.

lourrran · July 2021

ok, compris.

gerard0 · July 2021

Bonjour.

Dans les deux cas, la preuve de Lourran, basée sur f(1)>0 est valide.

Cordialement.

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