Inégalité
Salut
Je cherche une fonction positive $f$ non nulle avec une dérivée strictement positive $f^{\prime}$ qui vérifie :
$$(t+1)f^{\prime}\leq cf(t),\quad \forall t\in\mathbb{R}^+ ,
$$ où $c<\frac{1}{2}$ est une constante positive et avec
$f^{\prime}$ est la dérivée par rapport à $t$,
$f$ et $f^{\prime}$ appartiennent à l'espace$ L^2(\mathbb{R}^+)$.
Je cherche une fonction positive $f$ non nulle avec une dérivée strictement positive $f^{\prime}$ qui vérifie :
$$(t+1)f^{\prime}\leq cf(t),\quad \forall t\in\mathbb{R}^+ ,
$$ où $c<\frac{1}{2}$ est une constante positive et avec
$f^{\prime}$ est la dérivée par rapport à $t$,
$f$ et $f^{\prime}$ appartiennent à l'espace$ L^2(\mathbb{R}^+)$.
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Réponses
Mais je me dis que j'ai dû rater quelque chose.
A mon avis ça va âtre difficile. f' strictement positive donc f positive et tout ça dans $L^2(R^+)$....
bd2017 &hunter** ..$f$ est positive non nulle, elle est aussi strictement positive.
J'ai aussi la possiblité de changer l'inégalité de cette façon :
$(t+1)\lvert f^{\prime}\rvert\leq c\lvert f(t)\rvert,\quad \forall t\in\mathbb{R}^+$
avec $f$ positive ou négative mais non nulle
et chercher une fonction comme ça avec $f$ et $f^{\prime}$ dans $L^2(\mathbb{R}^+)$ avec $c<\frac{1}{2}$
Dans la journée, j'ai cherché ce que ça pouvait être ce $L^2(R^+)$, parce que je ne connaissais pas cette notation, j'imaginais un truc du genre fonctions 2 fois dérivables ...
Tout faux.
Du coup, effectivement, une fonction (edit : strictement) positive et croissante ne peut pas être (edit n°2 : de carré) intégrable sur $R^+$
Ton « strictement (fondamentalement ça ne change rien, mais c’est pour être cohérent avec la demande initiale) devrait s’ajouter après « croissante ». Sinon $L^2 (R_+)$ sont les fonctions de carré intégrable sur $R_+$.
Et donc la phrase à écrire serait plutôt:
« Une fonction positive et strictement croissante ne peut être de carré intégrable sur $R_+$ » :-)
Prenons une fonction strictement positive, et croissante (pas strictement).
On regarde $f(1)$, c'est un réel strictement positif. Et donc, notre fonction $f$, sur [1,infini[, est supérieure à la fonction constante $f(1)$. (non nul)
Et la fonction $f^2$ est supérieure à la fonction contante $f(1)^2$
Comment cette fonction peut-être intégrable sur R+ ?
Mais effectivement, ok sur l'autre correctif, étourderie corrigée.
Je dis juste que la demande initiale est $f$ positive et strictement croissante et non « $f$ strictement positive et croissante ».
Dans les deux cas, la preuve de Lourran, basée sur f(1)>0 est valide.
Cordialement.