Équation d'Euler-Lagrange

zestiria · July 2021

Bonjour,

Je travaille sur le calcul des variations. Je cherche une preuve, si possible simple et détaillée, pour la formule d'Euler-Lagrange, rappelée en dessous. Quels polycopiés, ou manuels est-ce vous recommandez en première lecture ? Merci. 124918

zestiria · July 2021

J'ai trouvé ce livre : A First Course in the Calculus of Variations, Mark Kot qui permet d'aborder le sujet.

Area 51 · July 2021

Pour respecter le principe de moindre action, on cherche qu'en sorte $\delta S = \mathcal{O}(\varepsilon^2)$. Après avoir développé le lagrangien $L(x_0+\varepsilon x,v_0+\varepsilon \dot{x},t) = L(x_0,v_0,t) + \varepsilon x \dfrac{\partial L}{\partial x} + \varepsilon \dot{x} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$ au voisinage de $(x_0,v_0)$, on injecte cette expression dans l'action $S$. Ce qui donne la condition $\displaystyle{\varepsilon \int_{t_1}^{t_2} \bigg( x \dfrac{\partial L}{\partial x} + \dot{x} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} \bigg) \, dt = \varepsilon \left\{ \bigg[ x \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} \bigg]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} x \bigg( \dfrac{\partial L}{\partial x} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} \bigg) \, dt \right\} = 0}$, d'où Euler-Lagrange. En coordonnées cartésiennes, la généralisation à $n$ dimensions est immédiate en changeant les dérivées partielles en $\nabla_x$ et $\nabla_v$.

math2 · July 2021

Recueil de problèmes d'optimisation, V. Alexeev, E. Galeev, V. Tikhomirov, (ed. Mir) pages 90 et suivantes (ils font le problème de Bolza, un poil plus général quant aux termes aux extrémités).

C'est un bouquin d'exos mais avec rappels et démonstrations de cours, qui accompagne celui de "commande optimale" aux mêmes éditions, presque aux mêmes auteurs.

Sinon tout cours de calcul des variations classiques convient. La question est surtout de savoir différentier $J$ (on peut se ramener à de la dérivée directionnelle pour se ramener à une seule variable et non à une fonction inconnue) ; remarquer que l'optimum est aussi optimum parmi celles qui ont les mêmes extrémités simplifie les opérations pour obtenir E-L. La dernière IPP, à moins de supposer $L$ de classe $C^2$ va s'accompagner du lemme de Dubois-Reymond. Puis en revenant à la condition nécessaire du premier ordre, cette fois pour toutes les courbes $C^1$, en remarquant qu'EL fait sauter les intégrales, on obtient les conditions de transversalité. La fin de ton énoncé dit simplement que dans un monde concave, la condition nécessaire du 1er ordre est en fait une CNS. C'est très résumé, car tu verras cela dans tout bon manuel.

Équation d'Euler-Lagrange

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 44