$\pi$ : rationnellement, quadratiquement

Les notations sont à ch... :-D

Pourquoi tout ce formalisme dans les premières lignes?

Si j'ai bien compris on a formellement $f_0(x)=a(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$? $f_0$ n'est pas une fonction polynôme.

Les choix de notations ne sont pas si problématiques parce que l'article est court, mais quand-même:

-il faudrait préciser que les constantes sont confondues avec les fonctions définies sur $[0;x]$, constantes et de dite valeur, plutôt que l'inverse.
-il peut être préférable de traîner $Arctan'$ pendant tout l'article si l'on utilise déjà $Arctan$, car il n'y a pas de continuité entre les écritures $Arctan$ et $a$.
-en général, le symbole $x$ désigne une variable (et $a$ parfois plutôt une constante), donc ici sachant qu'il y a des fonctions constantes qui dépendent de $x$, mieux vaudrait peut-être utiliser un autre symbole plus explicite comme $C$, ou $x_0$ ou $\lambda$.
-la notation $A^B$ désigne habituellement l'ensemble des fonctions de $B$ vers $A$ et non l'inverse!
-la notation $f\leq a$ n'est pas définie
-la notation $a \ (x)$ est assez étrange (pourquoi un espace entre les deux?), d'autant plus que tu utilises parfois un espace pour désigner un produit de fonctions
-tu pourrais expliciter l'algorithme récursif donnant la suite qui converge vers $\pi$ (pour quelle valeur de $x$ proposes-tu de l'appliquer par exemple?).

Sinon les maths ont l'air correctes. Tu pourrais peut-être aussi expliquer l'intérêt de cette méthode. Est-ce de retrouver rapidement l'identité d'Euler? D'avoir une suite de rationnels convergeant rapidement vers $\pi$ (mais du coup, Euler ne l'avait-il pas déjà)? Est-il plus facile de calculer $F_n$ en certains $x$ lorsqu'on sait que la suite des dérivées suit une itération de l'algorithme de Newton?

Survolé l'article. C'est étrange : la vitesse de convergence de la dernière formule en page 3 semble médiocre. Ca me fait douter de la "convergence quadratique".

Dans ce cas, j'ai du mal à croire qu'Euler ait pu obtenir 20 décimales en une heure ... Il faut quoi ? Quelque chose comme 160 termes ?

Si on utilise l'égalité (sans doute connue d'Euler):
$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}=2\arctan\left(\frac{1}{2}\right)-\arctan\left(\frac{1}{7}\right)$ il faut additionner $27$ termes de la série pour obtenir $20$ décimales correctes.

S(n,x)={x/(1+x^2)*sum(k=0,n,2^(2*k)/((2*k+1)*binomial(2*k,k))*(x^2/(1+x^2))^k)};
T(n)={2*S(n,0.5)-S(n,7^(-1))};
print("T(26)=",T(26)*10^20,);
print("T(27)=",T(27)*10^20,);
print("Pi/4= ",Pi/4*10^20,);
T(26)=78539816339744830959.317913462972294948600709812897
T(27)=78539816339744830961.124274290266893410122976285251
Pi/4= 78539816339744830961.566084581987572104929234984378

Et si on utilise:

$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}=2\arctan\left(\frac{1}{3}\right)+\arctan\left(\frac{1}{7}\right)$

il faut additionner $19$ termes de la série pour obtenir $20$ décimales correctes.

? \p 50
S(n,x)={x/(1+x^2)*sum(k=0,n,2^(2*k)/((2*k+1)*binomial(2*k,k))*(x^2/(1+x^2))^k)};
T2(n)={2*S(n,1/3.0)+S(n,1/7.0)};
print("T2(18)=",T2(18)*10^20);
print("T2(19)=",T2(19)*10^20);
print("Pi/4= ",Pi/4*10^20);
T2(18)=78539816339744830960.240268656103271381253855656594
T2(19)=78539816339744830961.436720576787929051059030384984
Pi/4= 78539816339744830961.566084581987572104929234984378

NB: Voir https://mathworld.wolfram.com/Machin-LikeFormulas.html

On a : $\dfrac{\dfrac{1}{3^2}}{1+\dfrac{1}{3^2}}=\dfrac{1}{10}$ et $\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3^2}}=\dfrac{3}{10}$ cool non? B-)