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Exponentielle pour mémo

Envoyé par christophe c 
Exponentielle pour mémo
20 juillet 2021, 19:21
J'imagine le désagrément qu'on a à se retrouver dans la position de Cyrano dans [www.les-mathematiques.net]
et comme j'ai quelques minutes (il m'avait aidé pour le théorème de Noether en plus, je le lui dois bien), je donne "une réponse" qui peut servir, je fais un fil spécifique mais le référence dans L1,L2 via un lien.

Et pour l'anecdote, au milieu du hall de mon lycée, je devais répondre un jour qu'on m'a posé la question (des élèves) et par je ne sais quelle magie étonnante, ça m'est venue alors que je ne suis coutumier du fait de trouver des machins comme ça, avec des calculs, mais bon, tant mieux.

Je ne mets que les passages "inspirant", je ne prive pas les lecteurs de compléter par les évidences.

Hypothèses: $f'=f$ et $f(0)=1$

Etape1 : il existe $g$ telle que $\forall x,y: f(x+y)=g(x)f(y)$ (évidemment si on ne pense pas à cette étape, j'imagine qu'on peut la chercher longtemps).

Etape2 : $f=g$

Etape 3 : les solutions forment un stable par différence

Etape 4 : si $f$ s'annule elle est contante nulle

Etape5: l'ensemble des possibilités pour $f$ est une unique fonction


Trouver ce qui manque est EVIDENT pour un matheux lambda



Pour se le rappeler, se rappeler de l'étape1. Et pour qui bloque à l'étape1 vous y allez à la hache
et vous ne changez que l'emballage final en retirant l'utilisation "érudite" de la formule $$\frac{f(a+x)f(x)- f(a+x)f(x)}{blabla}$$ après l'avoir... honteusement utilisée

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 3 fois. Dernière modification le 21/07/2021 14:48 par AD.
Re: exponentielle pour memo (la vie étant courte)
20 juillet 2021, 19:31
avatar
Salut christophe. smiling smiley

Rassure-toi, tu ne me dois rien mais ton aide fait toujours plaisir. grinning smiley

Par contre, ce que tu prouves là, c'est l'unicité, à savoir la partie facile du problème.
Ma question porte surtout sur la preuve de l'existence qui n'utiliserait que les outils élémentaires des limites et des dérivations vus par les élèves à ce moment de l'année. (Donc Rolle, TAF et compagnie ... + éventuellement des majorations techniques)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/07/2021 19:31 par Cyrano.
Dom
Re: exponentielle pour memo (la vie étant courte)
20 juillet 2021, 20:49
L’existence est faite par la construction $x\mapsto \lim_{\infty} (1+\frac{x}{n})^n$, non ?
Re: exponentielle pour memo (la vie étant courte)
20 juillet 2021, 21:01
avatar
Oui mais je ne suis pas certain que le caractère constructif soit nécessaire.
On peut le faire comme ça mais ça devient très technique, avec beaucoup de majorations.

Je me demande si on ne pourrait pas utiliser plus élégamment certains théorèmes pour montrer une existence mais pas de construction explicite.
Dom
Re: exponentielle pour memo (la vie étant courte)
20 juillet 2021, 21:34
Je pense au fait que la méthode « de la limite » fonctionne car on utilise le caractère complet de $\mathbb R$ (ou encore « suite croissante majorée converge »).

Et sinon, c’est de l’artillerie lourde mais le Théorème de Cauchy-Lipschitz est une théorème d’existence (puis d’unicité).
Ça utilise encore un espace complet (et le théorème du point fixe de Picard).
Mais j’en conviens, ça sort du cadre…
Re: Exponentielle pour memo
20 juillet 2021, 21:37
avatar
Et on a besoin de l'intégration pour Cauchy-Lipschitz.
Dom
Re: Exponentielle pour memo
20 juillet 2021, 21:38
Exact !
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 07:49
De mon téléphone. Aaah oui ça ne m'est même pas venu à l'idée qu'on puisse ambitionner de prouver l'existence de manière simple et "L1". Je comprends mieux pourquoi tu cherchais. Je ne crois pas que ce soit un trou de mémoire. Ça ne doit pas exister "vraiment".

J'ai un peu l'impression que si ça existait e ou pi seraient algébrique.

La notion d'aire n'est pas déductible de l'algèbre de manière simple.

Selon moi le façon la plus simple est de prolonger x|------> 10^x aux rationnels puis réels.

Le reste serait à mon sens "un peu tricher" intellectuellement car partir de limites de suites élaborées.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 08:41
De mon pc, je détaille un peu:

1/ Il me semble qu'on peut admettre (vu tout ce qu'on admet habituellement) l'EXISTENCE de

$$f : x\mapsto 10^x$$

et ses quelques propriétés basiques, induites par $r\in \mathbb{Q}\mapsto 10^r$.

2/ Comme on ne connait pas $lim_{h\to 0} \ \frac{10^{(x+h)} - 10^x}{h} = \frac{10^x(10^h-1)}{h} = f'(x) = Cste \times f'(x)$, on donne un nom et admet l'existence de
$$L:=lim_{h\to 0} \ \frac{(10^h-1)}{h} $$

3/ Cela nous donne une fonction $f$ telle que $\forall x: f'(x) = Lf(x)$

4/ On prend le $k$ qu'il faut pour que $g:=[x\mapsto f(kx)]$ vérifie $g' = g$

On voit que les "admissions" sont minimales, me semble-t-il.

edit j'avais mis des "1" partout où il aurait fallu mettre des "0", merci NM

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/07/2021 17:38 par christophe c.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 09:10
avatar
Je comprends ton point sur l'aire qui ne peut être facilement déduite de l'algèbre.
Mais en fait, comme expliqué dans les différents fils que j'ai déterré, le problème peut se ramener à démontrer l'existence d'une fonction $f$ telle que $f(x+y) \geq (y+1) f(x).$ Certes c'est une inégalité fonctionnelle, donc en soi, ça reste très dur. Mais on peut faire disparaitre le caractère différentiel en surface.

Pour l'instant les deux techniques sont les constructions classiques (série ou la limite de $(1+ x/n)^n)$.) Il est vrai que je crois m'être illusionné en pensant qu'on pouvait démontrer une existence "non-constructive" facilement.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 10:08
La différence entre "non constructive" et "constructive" n'est elle pas un peu ambigue?
Considère t-on que faire la limite d'une suite comme $(1+x/n)^n$ c'est constructif?
Considére t-on que le résumé de construction donné par cc est constructif? Le fait que $10^\pi$ est la limite de la suite $10^3, 10^{31/10}, 10^{314/100}$ où par ex $10^{314/100}$ est l'unique solution de $x^{100}=10^{314}$, c'est constructif?
Considére t-on que Cauchy-Lipshtitz c'est constructif? (la solution est donné comme limite d'une suite définie par une récurrence explicite)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/07/2021 10:09 par Namiswan.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 10:40
Voici une preuve du point le plus délicat dans ce qu'à dit Christophe, à savoir l'existence de $L=\lim_{h\to 0}\frac{10^h-1}{h}$ (et pas $h\to 1$ !)

Lemme: si $a>1$, alors la suite définie sur $\N^*$ par $u_n=\frac{a^n-1}{n}$ est croissante.
Preuve: Posons $v_n=\frac{u_n}{a-1}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} a^k$. Alors $v_{n}=\frac{n-1}{n}v_{n-1}+\frac{1}{n}a^{n-1}$. Or pour tout $k\leq n-1$, $a^{n-1}\geq a^k$ donc $a^{n-1}\geq v_{n-1}$, et donc $v_{n}\geq\frac{n-1}{n}v_{n-1}+\frac{1}{n}v_{n-1}=v_{n-1}$, donc $u_n\geq u_{n-1}$.

Montrons maintenant que la fonction $g$ définie par $g(h)=\frac{10^h-1}{h}$ est croissante sur $]0,+\infty[$. Soient $h_1=\frac{p_1}{q_1}$ et $h_2=\frac{p_2}{q_2}$ deux rationnels dans $]0,+\infty[$, avec $h_1\geq h_2$, i.e. $p_1 q_2\geq p_2q_1$. Le lemme donne que si $a>1$ alors $\displaystyle \frac{a^{p_1 q_2}-1}{p_1 q_2}\geq \frac{a^{p_2 q_1}-1}{p_2 q_1}$. Pour $a=10^{\frac{1}{q_1 q_2}}$ on déduit que $\displaystyle \frac{10^{p_1/q_1}-1}{p_1/q_1}\geq \frac{10^{p_2/q_2}-1}{p_2/q_2}$, i.e. $g(h_1)\geq g(h_2)$. On déduit par densité et continuité que $g$ est croissante $]0,+\infty[$. Puisqu'elle est positive, elle admet une limite en $0^+$. Et par un changement de variable $h\to -h$ on vérifie qu'elle admet la même limite en $0^-$
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 10:48
avatar
Relisant le message de Christophe, comme d’habitude je n'ai rien compris à ses blabla et je ne vois absolument pas comment traiter son « Étape 1», et je suspecte une erreur dans son blabla, qui me semble supposer ce qu'il demande de prouver plus loin, que $f$ ne s'annule pas. Bref, encore des
« leçons de ténèbres ».

De toutes manières comme l'a écrit Cyrano, ceci ne prouve pas l'existence de la fonction $f$. L'unicité se prouve en effet plus simplement, on peut dire que c'est « facile » mais encore faut-il y penser. Moi je poserais $g(x)=f(x)f(-x)$, et en dérivant on voit que $g$ est constante, d'où $f(x)f(-x)=1$ pour tout $x$ réel, et $f$ ne s'annule pas. Alors si $f_1$ est une autre fonction satisfaisant à : $\forall x \in \mathbb R, f_1'(x)=f_1(x)$ et $f_1(0)=1$, la fonction $x\mapsto \frac {f_1(x)}{f(x)}$ est constante, égale à $1$.

Avec les mêmes idées, on peut prouver l'équation fonctionnelle de l'exponentielle. Pour chaque $a \in \mathbb R$, la fonction $x\mapsto \frac {f(x+a)}{f(x)}$ est constante, d'où $f(x+a)=f(x)g(a)$, et puis $g=f$. On retrouve les considérations de Christophe, mais moyennant le fait que $f$ ne s'annule pas. On peut aussi considérer $x \mapsto f(x)f(a-x)$, qui n'exige pas cette propriété de non- annulation.

Pour l'existence je vois deux possibilités.

Avec ce que j'ai dit il est clair que si $f$ existe, alors ce sera une fonction strictement croissante, de dérivée $>0$ avec les limites connues en $+ \infty$ et $-\infty$. Elle aura donc une fonction réciproque, qui sera la primitive de $ x\mapsto \frac 1x$, et celle-ci, elle existe.

Autre méthode. Développement en série sans le dire, qu'on peut présenter de plusieurs façons.
On peut exécuter une suite d'intégrations par parties pour prouver la formule de Taylor avec reste intégral, juste dans ce cas particulier.
On peut aussi faire une suite d'intégrations avec encadrement. Je pose $f(x)=e^x$.
Si $x>0$, alors d'abord : $\displaystyle 0\leq \int_{0}^{x}e^{t}dt\leq \int_{0}^{x}e^{x}dt$, soit : $0\leq e^{x}-1\leq xe^{x}$.
$~~~$Intégration encor : $ \displaystyle 0\leq \int_{0}^{x}(e^{t}-1)dt\leq \int_{0}^{x}te^{t}dt\le \int_{0}^{x}te^{x}dt$, soit : $0\leq e^{x}-1-x\leq \frac{x^{2}}{2}e^{x}$.
Et ainsi de suite jusqu'à : $\displaystyle 0\leq e^{x}-\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x}$. D'où : $\displaystyle e^x = \lim_{n \rightarrow +\infty } \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}$, qu'on ne notera pas $\displaystyle e^x = \underset{k=0}{\overset{+\infty}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}$ si ça défrise.

Bonne journée estivale, enfin.
Fr. Ch.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 23/07/2021 17:31 par Chaurien.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 11:18
Etant donné un réel $a>0$, $x\in \Q \mapsto a^x \in \R$ est une fonction monotone (croissante si $a>1$ et décroissante sinon). D'où la possibilité d'étendre cette fonction à $\R$ en posant $a^x:= \sup E(a,x)$ si $a>1$ et $a^x:= \inf E(a,x)$ si $a\leq 1$, où $E(a,x):= \left \{ a^y \mid y \leq x \text{ et } y \in \Q \right \}$.

La définition de puissances de nombre réels strictement positifs par des exposants rationnels ne devrait pas poser de problèmes en principe.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 21/07/2021 11:20 par Foys.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 11:24
La construction des fonctions puissances à partir des puissances d'exposants rationnels est traitée en détail dans N.Bourbaki: Topologie générale (où dans fonctions d'une variable réelle? je n'ai pas ces livres sous la main présentement).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/07/2021 11:25 par Foys.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 11:32
Pour le point 1), ie définir $f(x)=10^x$ pour $x$ réel, voici une méthode:
pour $r=p/q$ rationnel on définit $f(r)$ comme l'unique réel positif $y$ vérifiant $y^q=10^p$. L'existence et unicité de la solution découle des axiomes de $\R$, et on vérifie que la solution de ne dépend que de $\R$ et pas des représentants $p$ et $q$ choisis. Ceci fait on vérifie ensuite que pour tout $r_1$, $r_2$ dans $\Q$, $f(r_1+r_2)=f(r_1)f(r_2)$, puis que $f(r)>1$ si $r>0$ et on déduit que $f$ est croissante sur $\Q$. En particulier en tout réel $x$, $f$ a une limite à gauche $f(x^-)$ et une limite à droite $f(x^+)$. On vérifie ensuite que $f$ est continue en $0$ comme suit: par croissance $f(0^+)\geq f(0)=1$ et d'autre part pour tout entier $n$, $f(0^+)^n\leq f(1/n)^n=10$ donc $f(0^+)\leq 1$. Donc $f(0^+)=1$, et de la relation $f(r)f(-r)=1$ on déduit que $f(0^-)=1$ également, donc $f$ est continue en $0$. En utilisant la propriété de morphisme $f(r_1+r_2)=f(r_1)f(r_2)$ on déduit que $f$ est continue sur $\Q$ et même que pour tout réel $x$, $f(x^+)=f(x^-)$. On obtient ainsi notre fonction $f$ sur $\R$, croissante, continue et vérifiant la propriété de morphisme.

(Rem: on peut raccourcir la fin en utilisant qu'une fonction croissante a toujours des points de continuité)

edit: j'ai écrit ce post en parallèle de Foys, c'est juste le détail de ce qu'il a dit.

edit 2: Je me rend compte que Chaurien parlait de l'étape 1 du premier post et non pas de la définition de $10^x$. Au temps pour moi.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 21/07/2021 13:53 par Namiswan.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 12:29
avatar
Je traduis l'étape 1 de CC si ça peut intéresser quelqu'un... Chaurien peut-être.

Il faut montrer que la fonction $(x,y)\mapsto \frac{f(x+y)}{f(y)}$ ne dépend pas de $y$. Donc on calcule la dérivée partielle de cette fonction par rapport à $y$ et on trouve :
$$
\frac{f'(x+y)f(y)- f(x+y)f'(y)}{f^2(y)}=\frac{f(x+y)f(y)- f(x+y)f(y)}{f^2(y)}=0.

$$ Bon lui il a préféré "$a$" et "$x$" au lieu de "$x$" et "$y$". Donc le $blabla$ c'était $f^2(y)$ cool.

PS. Si vous en avez marre des exo traditionnels essayez de traduire CC, il y a plusieurs bénéfices à en tirer : ça vous fait passer le temps, vous contribuez à rendre CC plus ou moins compréhensible et ce dernier point lui permettra de se sentir un membre à part entière du forum. Bref vous aurez accompli une œuvre de bien qui vous fera sentir mieux. smoking smiley



Modifié 3 fois. Dernière modification le 21/07/2021 14:47 par AD.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 12:55
Citation
raoul.S
ça vous fait passer le temps, vous contribuez à rendre CC plus ou moins compréhensible et ce dernier point lui permettra de se sentir un membre à part entière du forum.
A mon avis, après plus de 46 000 messages, on ne peut pas vraiment dire que Christophe ait des problèmes d'intégration lol
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 13:09
Il faut cependant prouver dans un premier temps que f ne s'annule pas pour faire fonctionner cet argument



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/07/2021 14:47 par AD.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 13:30
De mon téléphone, @foys, je pense que Raoul voulait parler d'assimilation grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 15:35
avatar
@ Raoul.S
Sauf qu'il faut prouver que $f$ ne s'annule pas, comme je l'ai lourdement signalé. Ce n'est pas un détail...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/07/2021 15:36 par Chaurien.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 16:31
avatar
@Foys [www.les-mathematiques.net] disons qu'il se parle (ou s'écrit) souvent tout seul quand même grinning smiley

Nul besoin de me remercier CC (ah ! tu ne l'as pas encore fait je remarque), il est normal de venir en aide à des gens comme toi. À l'avenir dès que j'aurais l'inspiration pour te traduire je le ferai. smoking smiley

@Chaurien ben oui mais moi je me limite à traduire, je ne corrige pas les fautes en plus.



PS. Bon je rigole naturellement, même si il y a un fond de vérité...
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 17:36
Raoul, merci! Mais aussi grand merci aux autres pour vos travaux dans ce fil, à NM pour la preuve d'existence de la limite. (Je corrige la coquille)

Attention, vous avez donné des rédactions complètes qui sont celles que je voulais justement éviter dans le contexte. Enfin de toutes façons, comme ça intéresse majoritairement un certain profil (des profs de L1), ils feront tous l'exercice (et le réussiront) plutôt que regarder la correction a priori, mais disons qu'ils pourront comparer.

On n'a pas implémenté de gestion des tangentes verticales, donc oui, c'est pénible de gérer le dénominateur nul et je ne l'ai volontairement pas fait.

Pour éviter la formule de dériver un quotient, on pose $h$ telle que
$$
\forall x,\qquad h(x)f(x)=f(a+x)

$$ et c'est alors la formule de dérivation du produit :
$$
h'(x)f(x)+h(x)f(x) = f(a+x) = h(x)f(x)

$$ qui force $h'(x)$ à être nul, sachant que ça ne change rien à la question de la nullité, mais est plus digeste à lire.

À noter que je suis à peu près convaincu que cette nullité gérée par raisonnement peut en fait*** "se gérer d'un coup" comme en géométrie projective ou en "pentes de droite" où on parvient à éviter de parler des droites verticales dans un cas séparé artificiel. Mais je peux chercher "un peu" bien que pas très dispo, mais pas vite donc, si je trouve à cette lenteur, je posterai une éventuelle figure à traduire par Raoul grinning smiley

*** la colinéarité de (a,b) et (c,d) s'exprime "en un coup" par ad = bc

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/07/2021 18:30 par AD.
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 17:42
C'est une blague?

Citation
chaurien
On peut aussi considérer $x\mapsto f(x)f(a-x)$, qui n'exige pas cette propriété de non- annulation.

C'est la phrase la plus importante et chaurien l'a glissée discrètement au milieu de ses corrections. Evidemment que c'est mieux avec ça. Quelle modestie ce chaurien grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 20:03
Etant sur mon pc, je donne la preuve de notre farceur chaurien (qui laisse tout le monde s'enfoncer, puis apporte une solution en la cachant dans une foule d'autres considérations)

1/ Hypothèse: $f'=f$ et $f(0)=1$

2/ La dérivée de $x\mapsto f(x)f(a-x)$ est nulle (niveau première S)

3/ $\exists g\forall a,x: f(x)f(a-x)=g(a)$

4/ $f(a) = f(0)f(a-0)=g(a)$

5/ $f(x)f(y) = f(x)f((x+y)-x) = f(x+y)$


Les lecteurs peuvent pérégriner sans inspiration en retenant cette idée.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Exponentielle pour memo
21 juillet 2021, 21:12
avatar
Quand j'étais petit, ma mère me disait : « tu n'as pas levé le pied, qu'on te voit la semelle ». C'est pour dire que je suis franc et transparent, je ne sais rien cacher, ce qui n'est peut-être pas qu'une qualité, d'ailleurs. Dans le cas présent, je n'ai rien voulu cacher, j'ai signalé deux façons de procéder.

- La première consistait à observer d'abord que $f(x)f(-x)$ est une constante, égale à $1$, ce qui prouve que $f$ ne s'annule pas, après quoi on en déduit l'unicité de la fonction $f$ (sous réserve d'existence), et l’équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)f(y)$.

- La seconde consistait à considérer la famille de fonctions $x \mapsto f(x)f(a-x)$, constantes par rapport à $x$, d'où : $f(x)f(a-x)=g(a)$. Je n'ai pas cru bon de développer, c'était sans intention particulière. On en tire des conséquences comme Christophe dans son dernier message, et non dans le premier, absolument incompréhensible et probablement erroné. On aboutit aussi à l'équation fonctionnelle et à l'unicité, toujours sous réserve d'existence.

Je n'ai pas de préférence pour l'une ou l'autre de ces méthodes.

C'est un problème mathématique intéressant, mais une mauvaise introduction de la fonction exponentielle au niveau Terminale.

Bonne soirée.
Fr. Ch.
Re: Exponentielle pour memo
22 juillet 2021, 09:14
avatar
Précisions sur la présentation en Terminale des fonctions $\exp$ et $\ln$.
Je n'ai pas compris pourquoi on a voulu opter pour cette présentation d'une fonction $f$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. Je présume que pour l'existence, il était prescrit de recourir à une méthode approchée (Euler) qui donne une idée de cette existence, sans rien prouver.
Bon, ce n'est pas un scandale d'admettre certaines choses, pourvu que ce ne soit pas trop souvent. Mais pourquoi avoir renoncé à commencer par le log, avec la définition classique : $\ln x= \int_1^x \frac{dt}t$ ?
Si l'on veut « motiver », on peut adopter une approche fonctionnelle, et annoncer qu'on cherche une fonction qui transforme les multiplications en additions, ce qui était du plus haut intérêt avant l'apparition des calculatrices. C'est ainsi que procédait André Delachet dans son « Que Sais-Je ? », qui reste toujours intéressant.
On cherche donc une fonction $f:\mathbb R_+^* \rightarrow \mathbb R$ telle que : $\forall x\in \mathbb R_+^*, \forall y \in \mathbb R_+^*, f(xy)=f(x)+f(y)$.
C'est une des quatre équations fonctionnelles de Cauchy.
On peut supposer $f$ dérivable, et on obtient tout de suite $f(x)= \int_1^x K\frac{dt}t$, où $K$ est une constante.
Avec des élèves avancés, on peut prolonger la question : chercher à définir $f$ sur $\mathbb R$, sur $\mathbb R^*$ ; supposer seulement $f$ continue, ou continue en un point, etc.
Bonne journée.
Fr. Ch.


Dom
Re: Exponentielle pour memo
22 juillet 2021, 09:32
Je ne sais pas pourquoi ce changement (commencer par $\ln$ puis commencer par $\exp$).
Chacun aura son avis.
D’ailleurs n’est-ce pas quelqu’un qui s’est décidé à changer cela parce que, pour lui, c’était $\exp$ « l’origine pertinente » ?
Juste avec son avis à lui ?

Franchement, quelle en a été la plus-value d’ailleurs ?

Une hypothèse (argument) :
présenter $\ln$, c’est parler d’intégration
présenter $\exp$, c’est parler de dérivée

Serait-ce cela, le débat ?

Quant aux équations fonctionnelles, cela viendrait « après » la connaissance de ces fonctions, peut-être, pour pouvoir « travailler ».
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 09:48
@chaurien je plaisantais bien sûr grinning smiley je sais que ce n'était pas intentionnel

Il empêche que J'AI COMMIS LA GROSSE FAUTE MORALE de ne pas prendre un peu plus de temps et proposer f(x)f(a-x) DÈS MON 1ER POST et j'ai d'autant moins d'excuse que je l'avais jadis fait comme ça, pour JUSTEMENT éviter les problème de nullité de f.

Je ferai un édit pour les visiteurs au 1er post d'ailleurs.

D'accord avec tout le monde que L'EXISTENCE n'est pas accessible et qui que ce soit d'autre qu'aux passionnés.

De mon téléphone

Une remarque quand même. Même si fous a rappelé jadis légitimement que ce n'est pas utilisable en pratique à cause de variances explosives, une alternative aux aires est de voir ces fonctions comme des espérances mathématiques, nous irons qui pour une partie de la population est plus admise encore que l'aire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 12:09
avatar
@Chaurien : Voici 2 raisons importantes pour lesquelles, selon moi, il faut commencer par l'exponentielle.

1) C'est la fonction exponentielle, et non le logarithme, qui est le prolongement naturel de ce que les élèves connaissent déjà. (Comme l'a expliqué Christophe, passe de $10^r$ à $10^x$) Le logarithme au contraire sortirait un peu de "nulle part".

2) Pour introduire le logarithme en premier, il faut le calcul intégral. Ce qui veut dire que tu dois séparer le chapitre sur le calcul intégral en 2 et suivre l'ordre suivant dans ton cours :

2a) Primitives, intégrales, calcul élémentaires avec des polynomes, des sinus, des cosinus, etc ...
2b) Définition du logarithme, exponentielle et exercices associés (équations exponentielles, etc ...)
2c) Retour au calcul intégral pour calculer des trucs comme $\int x e^x dx.$

Autrement dit, tu as du scinder les exercices de calcul intégral en 2 pour introduire un chapitre intermédiaire avec d'autres types d'exercices. C'est peut-être moi qui fait un blocage psychologique, mais je trouve ça assez ennuyant. Je préfère l'option de faire d'un coup tout ce qui concerne les exponentielles et les logarithmes et puis d'un coup tous les calculs de primitive.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 12:25
[Un document] qui reprend quelques points de vue exprimés dans ce fil.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 12:37
Si $b$ est un réel strictement supérieur à $1$, on peut définir le logarithme $\log_b (x)$ d'un réel $x>0$ en base $b$ comme la borne supérieure des rationnels $y$ tels que $b^y\leq x$ (puis montrer l'égalité $b^{\log_b(x)}=x$, où pour tout réel $z$, $b^z$ est la borne supérieure des $b^q$ où $q$ parcourt l'ensemble des rationnels inférieurs à $z$).
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 13:15
avatar
@Foys : C'est là qu'on se rend compte à quel point il est difficile d'avoir une approche rigoureuse et "self-contained" en secondaire, même avec ceux qui ont le plus grand nombre d'heures de maths par semaine. (Chez nous, ça peut aller jusqu'à 8).

Que ce soit ton approche pour introduire le logarithme en premier, ou bien celle avec des suites adjacentes (que ce soit la série ou bien $(1+x/n)^n$), tôt ou tard, il faut faire intervenir la notion de borne supérieure, ... qui n'est pas au programme.
Quand j'y pense, c'est hallucinant. Comment faire de l'analyse (c'est à dire étudier $\R$ et donc intrinsèquement la propriété de la borne supérieure) si on ne peut même pas parler de la notion.

EDIT : Quand j'y pense, on pourrait juste dire que la proposition "toute suite croissante et majorée admet une limite" est un axiome. De toute façon, il faut bien un axiome quelque part, sauf à construire explicitement $\R$ en secondaire, ce qui est pour le coup franchement inenvisageable.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/07/2021 13:23 par Cyrano.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 13:23
@Cyrano : le parti-pris est de prendre pour "axiome" que toute suite réelle croissante majorée converge.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 13:24
avatar
@Magnéthorax : On vient de penser à la même chose en même temps. grinning smiley
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 13:35
Il est assez facile de montrer que cette propriété (toute suite croissante majorée converge) entraîne la propriété de la borne supérieure, celle des segments emboîtés, Bolzano-Weierstrass et la complétude.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 14:25
@Cyrano: la borne sup, c'est la première notion pour laquelle on ne peut plus faire semblant avec les quantifications.
Pour les limites à la rigueur on peut "programmer" l'élève à coups de hacks pour lui faire faire des rédactions calculatoires justes sans comprendre ("x est non nul donc je peux écrire ceci-cela") mais pour les sups/infs ça ne marche plus même si la notion est moins complexe in fine.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 14:56
On pourrait tenter de le dire comme ça peut-être:
Etant donné un sous-ensemble $E$ quelconque de $\R$ il existe un élément de $\R \cup \{-\infty,+\infty\}$ (*) et un seul, nommé "borne supérieure de $E$", désigné par la notation $\sup(E)$ et qui vérifie la propriété suivante:
pour tout $a \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}$, $\sup(E) \leq a$ si et seulement si $b\leq a$ pour tout $b$ dans $E$.

(*) on voit parfois $\sup(\text{machin})=+\infty$ dans des livres même si les sups ne sont a priori définis que dans $\R$. Si ça gêne, au pire, on restrent l'exposé à des parties majorées de $\R$.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 14:59
Si on a vraiment que les suites croissantes majorées, passer par la suite des $(1+x/n)^n$ ou les polynômes de Taylor semble effectivement être la solution la plus raisonnable, bien que ces suites semblent sorties du chapeau à ce stade.
Re: Exponentielle pour mémo
22 juillet 2021, 15:05
De mémoire il y a sur ce site même quelqu'un qui a tout fait avec les fonctions $x\mapsto \left (1+\frac x n \right )^n$ ($n$ positif ou négatif). Il faudrait retrouver le message, la construction n'est pas si longue.
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