Exponentielle pour mémo
dans Analyse
J'imagine le désagrément qu'on a à se retrouver dans la position de Cyrano dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2277808,2277808#msg-2277808
et comme j'ai quelques minutes (il m'avait aidé pour le théorème de Noether en plus, je le lui dois bien), je donne "une réponse" qui peut servir, je fais un fil spécifique mais le référence dans L1,L2 via un lien.
Et pour l'anecdote, au milieu du hall de mon lycée, je devais répondre un jour qu'on m'a posé la question (des élèves) et par je ne sais quelle magie étonnante, ça m'est venue alors que je ne suis coutumier du fait de trouver des machins comme ça, avec des calculs, mais bon, tant mieux.
Je ne mets que les passages "inspirant", je ne prive pas les lecteurs de compléter par les évidences.
Hypothèses: $f'=f$ et $f(0)=1$
Etape1 : il existe $g$ telle que $\forall x,y: f(x+y)=g(x)f(y)$ (évidemment si on ne pense pas à cette étape, j'imagine qu'on peut la chercher longtemps).
Etape2 : $f=g$
Etape 3 : les solutions forment un stable par différence
Etape 4 : si $f$ s'annule elle est contante nulle
Etape5: l'ensemble des possibilités pour $f$ est une unique fonction
Trouver ce qui manque est EVIDENT pour un matheux lambda
Pour se le rappeler, se rappeler de l'étape1. Et pour qui bloque à l'étape1 vous y allez à la hache
et vous ne changez que l'emballage final en retirant l'utilisation "érudite" de la formule $$\frac{f(a+x)f(x)- f(a+x)f(x)}{blabla}$$ après l'avoir... honteusement utilisée
et comme j'ai quelques minutes (il m'avait aidé pour le théorème de Noether en plus, je le lui dois bien), je donne "une réponse" qui peut servir, je fais un fil spécifique mais le référence dans L1,L2 via un lien.
Et pour l'anecdote, au milieu du hall de mon lycée, je devais répondre un jour qu'on m'a posé la question (des élèves) et par je ne sais quelle magie étonnante, ça m'est venue alors que je ne suis coutumier du fait de trouver des machins comme ça, avec des calculs, mais bon, tant mieux.
Je ne mets que les passages "inspirant", je ne prive pas les lecteurs de compléter par les évidences.
Hypothèses: $f'=f$ et $f(0)=1$
Etape1 : il existe $g$ telle que $\forall x,y: f(x+y)=g(x)f(y)$ (évidemment si on ne pense pas à cette étape, j'imagine qu'on peut la chercher longtemps).
Etape2 : $f=g$
Etape 3 : les solutions forment un stable par différence
Etape 4 : si $f$ s'annule elle est contante nulle
Etape5: l'ensemble des possibilités pour $f$ est une unique fonction
Trouver ce qui manque est EVIDENT pour un matheux lambda
Pour se le rappeler, se rappeler de l'étape1. Et pour qui bloque à l'étape1 vous y allez à la hache
et vous ne changez que l'emballage final en retirant l'utilisation "érudite" de la formule $$\frac{f(a+x)f(x)- f(a+x)f(x)}{blabla}$$ après l'avoir... honteusement utilisée
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Rassure-toi, tu ne me dois rien mais ton aide fait toujours plaisir. :-D
Par contre, ce que tu prouves là, c'est l'unicité, à savoir la partie facile du problème.
Ma question porte surtout sur la preuve de l'existence qui n'utiliserait que les outils élémentaires des limites et des dérivations vus par les élèves à ce moment de l'année. (Donc Rolle, TAF et compagnie ... + éventuellement des majorations techniques)
On peut le faire comme ça mais ça devient très technique, avec beaucoup de majorations.
Je me demande si on ne pourrait pas utiliser plus élégamment certains théorèmes pour montrer une existence mais pas de construction explicite.
Et sinon, c’est de l’artillerie lourde mais le Théorème de Cauchy-Lipschitz est une théorème d’existence (puis d’unicité).
Ça utilise encore un espace complet (et le théorème du point fixe de Picard).
Mais j’en conviens, ça sort du cadre…
J'ai un peu l'impression que si ça existait e ou pi seraient algébrique.
La notion d'aire n'est pas déductible de l'algèbre de manière simple.
Selon moi le façon la plus simple est de prolonger x|
> 10^x aux rationnels puis réels.
Le reste serait à mon sens "un peu tricher" intellectuellement car partir de limites de suites élaborées.
1/ Il me semble qu'on peut admettre (vu tout ce qu'on admet habituellement) l'EXISTENCE de
$$f : x\mapsto 10^x$$
et ses quelques propriétés basiques, induites par $r\in \mathbb{Q}\mapsto 10^r$.
2/ Comme on ne connait pas $lim_{h\to 0} \ \frac{10^{(x+h)} - 10^x}{h} = \frac{10^x(10^h-1)}{h} = f'(x) = Cste \times f'(x)$, on donne un nom et admet l'existence de
$$L:=lim_{h\to 0} \ \frac{(10^h-1)}{h} $$
3/ Cela nous donne une fonction $f$ telle que $\forall x: f'(x) = Lf(x)$
4/ On prend le $k$ qu'il faut pour que $g:=[x\mapsto f(kx)]$ vérifie $g' = g$
On voit que les "admissions" sont minimales, me semble-t-il.
edit j'avais mis des "1" partout où il aurait fallu mettre des "0", merci NM
Mais en fait, comme expliqué dans les différents fils que j'ai déterré, le problème peut se ramener à démontrer l'existence d'une fonction $f$ telle que $f(x+y) \geq (y+1) f(x).$ Certes c'est une inégalité fonctionnelle, donc en soi, ça reste très dur. Mais on peut faire disparaitre le caractère différentiel en surface.
Pour l'instant les deux techniques sont les constructions classiques (série ou la limite de $(1+ x/n)^n)$.) Il est vrai que je crois m'être illusionné en pensant qu'on pouvait démontrer une existence "non-constructive" facilement.
Considère t-on que faire la limite d'une suite comme $(1+x/n)^n$ c'est constructif?
Considére t-on que le résumé de construction donné par cc est constructif? Le fait que $10^\pi$ est la limite de la suite $10^3, 10^{31/10}, 10^{314/100}$ où par ex $10^{314/100}$ est l'unique solution de $x^{100}=10^{314}$, c'est constructif?
Considére t-on que Cauchy-Lipshtitz c'est constructif? (la solution est donné comme limite d'une suite définie par une récurrence explicite)
Lemme: si $a>1$, alors la suite définie sur $\N^*$ par $u_n=\frac{a^n-1}{n}$ est croissante.
Preuve: Posons $v_n=\frac{u_n}{a-1}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} a^k$. Alors $v_{n}=\frac{n-1}{n}v_{n-1}+\frac{1}{n}a^{n-1}$. Or pour tout $k\leq n-1$, $a^{n-1}\geq a^k$ donc $a^{n-1}\geq v_{n-1}$, et donc $v_{n}\geq\frac{n-1}{n}v_{n-1}+\frac{1}{n}v_{n-1}=v_{n-1}$, donc $u_n\geq u_{n-1}$.
Montrons maintenant que la fonction $g$ définie par $g(h)=\frac{10^h-1}{h}$ est croissante sur $]0,+\infty[$. Soient $h_1=\frac{p_1}{q_1}$ et $h_2=\frac{p_2}{q_2}$ deux rationnels dans $]0,+\infty[$, avec $h_1\geq h_2$, i.e. $p_1 q_2\geq p_2q_1$. Le lemme donne que si $a>1$ alors $\displaystyle \frac{a^{p_1 q_2}-1}{p_1 q_2}\geq \frac{a^{p_2 q_1}-1}{p_2 q_1}$. Pour $a=10^{\frac{1}{q_1 q_2}}$ on déduit que $\displaystyle \frac{10^{p_1/q_1}-1}{p_1/q_1}\geq \frac{10^{p_2/q_2}-1}{p_2/q_2}$, i.e. $g(h_1)\geq g(h_2)$. On déduit par densité et continuité que $g$ est croissante $]0,+\infty[$. Puisqu'elle est positive, elle admet une limite en $0^+$. Et par un changement de variable $h\to -h$ on vérifie qu'elle admet la même limite en $0^-$
« leçons de ténèbres ».
De toutes manières comme l'a écrit Cyrano, ceci ne prouve pas l'existence de la fonction $f$. L'unicité se prouve en effet plus simplement, on peut dire que c'est « facile » mais encore faut-il y penser. Moi je poserais $g(x)=f(x)f(-x)$, et en dérivant on voit que $g$ est constante, d'où $f(x)f(-x)=1$ pour tout $x$ réel, et $f$ ne s'annule pas. Alors si $f_1$ est une autre fonction satisfaisant à : $\forall x \in \mathbb R, f_1'(x)=f_1(x)$ et $f_1(0)=1$, la fonction $x\mapsto \frac {f_1(x)}{f(x)}$ est constante, égale à $1$.
Avec les mêmes idées, on peut prouver l'équation fonctionnelle de l'exponentielle. Pour chaque $a \in \mathbb R$, la fonction $x\mapsto \frac {f(x+a)}{f(x)}$ est constante, d'où $f(x+a)=f(x)g(a)$, et puis $g=f$. On retrouve les considérations de Christophe, mais moyennant le fait que $f$ ne s'annule pas. On peut aussi considérer $x \mapsto f(x)f(a-x)$, qui n'exige pas cette propriété de non- annulation.
Pour l'existence je vois deux possibilités.
Avec ce que j'ai dit il est clair que si $f$ existe, alors ce sera une fonction strictement croissante, de dérivée $>0$ avec les limites connues en $+ \infty$ et $-\infty$. Elle aura donc une fonction réciproque, qui sera la primitive de $ x\mapsto \frac 1x$, et celle-ci, elle existe.
Autre méthode. Développement en série sans le dire, qu'on peut présenter de plusieurs façons.
On peut exécuter une suite d'intégrations par parties pour prouver la formule de Taylor avec reste intégral, juste dans ce cas particulier.
On peut aussi faire une suite d'intégrations avec encadrement. Je pose $f(x)=e^x$.
Si $x>0$, alors d'abord : $\displaystyle 0\leq \int_{0}^{x}e^{t}dt\leq \int_{0}^{x}e^{x}dt$, soit : $0\leq e^{x}-1\leq xe^{x}$.
$~~~$Intégration encor : $ \displaystyle 0\leq \int_{0}^{x}(e^{t}-1)dt\leq \int_{0}^{x}te^{t}dt\le \int_{0}^{x}te^{x}dt$, soit : $0\leq e^{x}-1-x\leq \frac{x^{2}}{2}e^{x}$.
Et ainsi de suite jusqu'à : $\displaystyle 0\leq e^{x}-\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x}$. D'où : $\displaystyle e^x = \lim_{n \rightarrow +\infty } \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}$, qu'on ne notera pas $\displaystyle e^x = \underset{k=0}{\overset{+\infty}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}$ si ça défrise.
Bonne journée estivale, enfin.
Fr. Ch.
La définition de puissances de nombre réels strictement positifs par des exposants rationnels ne devrait pas poser de problèmes en principe.
pour $r=p/q$ rationnel on définit $f(r)$ comme l'unique réel positif $y$ vérifiant $y^q=10^p$. L'existence et unicité de la solution découle des axiomes de $\R$, et on vérifie que la solution de ne dépend que de $r$ et pas des représentants $p$ et $q$ choisis. Ceci fait on vérifie ensuite que pour tout $r_1$, $r_2$ dans $\Q$, $f(r_1+r_2)=f(r_1)f(r_2)$, puis que $f(r)>1$ si $r>0$ et on déduit que $f$ est croissante sur $\Q$. En particulier en tout réel $x$, $f$ a une limite à gauche $f(x^-)$ et une limite à droite $f(x^+)$. On vérifie ensuite que $f$ est continue en $0$ comme suit: par croissance $f(0^+)\geq f(0)=1$ et d'autre part pour tout entier $n$, $f(0^+)^n\leq f(1/n)^n=10$ donc $f(0^+)\leq 1$. Donc $f(0^+)=1$, et de la relation $f(r)f(-r)=1$ on déduit que $f(0^-)=1$ également, donc $f$ est continue en $0$. En utilisant la propriété de morphisme $f(r_1+r_2)=f(r_1)f(r_2)$ on déduit que $f$ est continue sur $\Q$ et même que pour tout réel $x$, $f(x^+)=f(x^-)$. On obtient ainsi notre fonction $f$ sur $\R$, croissante, continue et vérifiant la propriété de morphisme.
(Rem: on peut raccourcir la fin en utilisant qu'une fonction croissante a toujours des points de continuité)
edit: j'ai écrit ce post en parallèle de Foys, c'est juste le détail de ce qu'il a dit.
edit 2: Je me rend compte que Chaurien parlait de l'étape 1 du premier post et non pas de la définition de $10^x$. Au temps pour moi.
Il faut montrer que la fonction $(x,y)\mapsto \frac{f(x+y)}{f(y)}$ ne dépend pas de $y$. Donc on calcule la dérivée partielle de cette fonction par rapport à $y$ et on trouve :
$$
\frac{f'(x+y)f(y)- f(x+y)f'(y)}{f^2(y)}=\frac{f(x+y)f(y)- f(x+y)f(y)}{f^2(y)}=0.
$$ Bon lui il a préféré "$a$" et "$x$" au lieu de "$x$" et "$y$". Donc le $blabla$ c'était $f^2(y)$ cool.
PS. Si vous en avez marre des exo traditionnels essayez de traduire CC, il y a plusieurs bénéfices à en tirer : ça vous fait passer le temps, vous contribuez à rendre CC plus ou moins compréhensible et ce dernier point lui permettra de se sentir un membre à part entière du forum. Bref vous aurez accompli une œuvre de bien qui vous fera sentir mieux. B-)-
Sauf qu'il faut prouver que $f$ ne s'annule pas, comme je l'ai lourdement signalé. Ce n'est pas un détail...
Nul besoin de me remercier CC (ah ! tu ne l'as pas encore fait je remarque), il est normal de venir en aide à des gens comme toi. À l'avenir dès que j'aurais l'inspiration pour te traduire je le ferai. B-)-
@Chaurien ben oui mais moi je me limite à traduire, je ne corrige pas les fautes en plus.
PS. Bon je rigole naturellement, même si il y a un fond de vérité...
Attention, vous avez donné des rédactions complètes qui sont celles que je voulais justement éviter dans le contexte. Enfin de toutes façons, comme ça intéresse majoritairement un certain profil (des profs de L1), ils feront tous l'exercice (et le réussiront) plutôt que regarder la correction a priori, mais disons qu'ils pourront comparer.
On n'a pas implémenté de gestion des tangentes verticales, donc oui, c'est pénible de gérer le dénominateur nul et je ne l'ai volontairement pas fait.
Pour éviter la formule de dériver un quotient, on pose $h$ telle que
$$
\forall x,\qquad h(x)f(x)=f(a+x)
$$ et c'est alors la formule de dérivation du produit :
$$
h'(x)f(x)+h(x)f(x) = f(a+x) = h(x)f(x)
$$ qui force $h'(x)$ à être nul, sachant que ça ne change rien à la question de la nullité, mais est plus digeste à lire.
À noter que je suis à peu près convaincu que cette nullité gérée par raisonnement peut en fait*** "se gérer d'un coup" comme en géométrie projective ou en "pentes de droite" où on parvient à éviter de parler des droites verticales dans un cas séparé artificiel. Mais je peux chercher "un peu" bien que pas très dispo, mais pas vite donc, si je trouve à cette lenteur, je posterai une éventuelle figure à traduire par Raoul :-D
*** la colinéarité de (a,b) et (c,d) s'exprime "en un coup" par ad = bc
C'est la phrase la plus importante et chaurien l'a glissée discrètement au milieu de ses corrections. Evidemment que c'est mieux avec ça. Quelle modestie ce chaurien :-D
1/ Hypothèse: $f'=f$ et $f(0)=1$
2/ La dérivée de $x\mapsto f(x)f(a-x)$ est nulle (niveau première S)
3/ $\exists g\forall a,x: f(x)f(a-x)=g(a)$
4/ $f(a) = f(0)f(a-0)=g(a)$
5/ $f(x)f(y) = f(x)f((x+y)-x) = f(x+y)$
Les lecteurs peuvent pérégriner sans inspiration en retenant cette idée.
- La première consistait à observer d'abord que $f(x)f(-x)$ est une constante, égale à $1$, ce qui prouve que $f$ ne s'annule pas, après quoi on en déduit l'unicité de la fonction $f$ (sous réserve d'existence), et l’équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)f(y)$.
- La seconde consistait à considérer la famille de fonctions $x \mapsto f(x)f(a-x)$, constantes par rapport à $x$, d'où : $f(x)f(a-x)=g(a)$. Je n'ai pas cru bon de développer, c'était sans intention particulière. On en tire des conséquences comme Christophe dans son dernier message, et non dans le premier, absolument incompréhensible et probablement erroné. On aboutit aussi à l'équation fonctionnelle et à l'unicité, toujours sous réserve d'existence.
Je n'ai pas de préférence pour l'une ou l'autre de ces méthodes.
C'est un problème mathématique intéressant, mais une mauvaise introduction de la fonction exponentielle au niveau Terminale.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Je n'ai pas compris pourquoi on a voulu opter pour cette présentation d'une fonction $f$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. Je présume que pour l'existence, il était prescrit de recourir à une méthode approchée (Euler) qui donne une idée de cette existence, sans rien prouver.
Bon, ce n'est pas un scandale d'admettre certaines choses, pourvu que ce ne soit pas trop souvent. Mais pourquoi avoir renoncé à commencer par le log, avec la définition classique : $\ln x= \int_1^x \frac{dt}t$ ?
Si l'on veut « motiver », on peut adopter une approche fonctionnelle, et annoncer qu'on cherche une fonction qui transforme les multiplications en additions, ce qui était du plus haut intérêt avant l'apparition des calculatrices. C'est ainsi que procédait André Delachet dans son « Que Sais-Je ? », qui reste toujours intéressant.
On cherche donc une fonction $f:\mathbb R_+^* \rightarrow \mathbb R$ telle que : $\forall x\in \mathbb R_+^*, \forall y \in \mathbb R_+^*, f(xy)=f(x)+f(y)$.
C'est une des quatre équations fonctionnelles de Cauchy.
On peut supposer $f$ dérivable, et on obtient tout de suite $f(x)= \int_1^x K\frac{dt}t$, où $K$ est une constante.
Avec des élèves avancés, on peut prolonger la question : chercher à définir $f$ sur $\mathbb R$, sur $\mathbb R^*$ ; supposer seulement $f$ continue, ou continue en un point, etc.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Chacun aura son avis.
D’ailleurs n’est-ce pas quelqu’un qui s’est décidé à changer cela parce que, pour lui, c’était $\exp$ « l’origine pertinente » ?
Juste avec son avis à lui ?
Franchement, quelle en a été la plus-value d’ailleurs ?
Une hypothèse (argument) :
présenter $\ln$, c’est parler d’intégration
présenter $\exp$, c’est parler de dérivée
Serait-ce cela, le débat ?
Quant aux équations fonctionnelles, cela viendrait « après » la connaissance de ces fonctions, peut-être, pour pouvoir « travailler ».
Il empêche que J'AI COMMIS LA GROSSE FAUTE MORALE de ne pas prendre un peu plus de temps et proposer f(x)f(a-x) DÈS MON 1ER POST et j'ai d'autant moins d'excuse que je l'avais jadis fait comme ça, pour JUSTEMENT éviter les problème de nullité de f.
Je ferai un édit pour les visiteurs au 1er post d'ailleurs.
D'accord avec tout le monde que L'EXISTENCE n'est pas accessible et qui que ce soit d'autre qu'aux passionnés.
De mon téléphone
Une remarque quand même. Même si fous a rappelé jadis légitimement que ce n'est pas utilisable en pratique à cause de variances explosives, une alternative aux aires est de voir ces fonctions comme des espérances mathématiques, nous irons qui pour une partie de la population est plus admise encore que l'aire.
1) C'est la fonction exponentielle, et non le logarithme, qui est le prolongement naturel de ce que les élèves connaissent déjà. (Comme l'a expliqué Christophe, passe de $10^r$ à $10^x$) Le logarithme au contraire sortirait un peu de "nulle part".
2) Pour introduire le logarithme en premier, il faut le calcul intégral. Ce qui veut dire que tu dois séparer le chapitre sur le calcul intégral en 2 et suivre l'ordre suivant dans ton cours :
2a) Primitives, intégrales, calcul élémentaires avec des polynomes, des sinus, des cosinus, etc ...
2b) Définition du logarithme, exponentielle et exercices associés (équations exponentielles, etc ...)
2c) Retour au calcul intégral pour calculer des trucs comme $\int x e^x dx.$
Autrement dit, tu as du scinder les exercices de calcul intégral en 2 pour introduire un chapitre intermédiaire avec d'autres types d'exercices. C'est peut-être moi qui fait un blocage psychologique, mais je trouve ça assez ennuyant. Je préfère l'option de faire d'un coup tout ce qui concerne les exponentielles et les logarithmes et puis d'un coup tous les calculs de primitive.
Que ce soit ton approche pour introduire le logarithme en premier, ou bien celle avec des suites adjacentes (que ce soit la série ou bien $(1+x/n)^n$), tôt ou tard, il faut faire intervenir la notion de borne supérieure, ... qui n'est pas au programme.
Quand j'y pense, c'est hallucinant. Comment faire de l'analyse (c'est à dire étudier $\R$ et donc intrinsèquement la propriété de la borne supérieure) si on ne peut même pas parler de la notion.
EDIT : Quand j'y pense, on pourrait juste dire que la proposition "toute suite croissante et majorée admet une limite" est un axiome. De toute façon, il faut bien un axiome quelque part, sauf à construire explicitement $\R$ en secondaire, ce qui est pour le coup franchement inenvisageable.
Pour les limites à la rigueur on peut "programmer" l'élève à coups de hacks pour lui faire faire des rédactions calculatoires justes sans comprendre ("x est non nul donc je peux écrire ceci-cela") mais pour les sups/infs ça ne marche plus même si la notion est moins complexe in fine.
Etant donné un sous-ensemble $E$ quelconque de $\R$ il existe un élément de $\R \cup \{-\infty,+\infty\}$ (*) et un seul, nommé "borne supérieure de $E$", désigné par la notation $\sup(E)$ et qui vérifie la propriété suivante:
pour tout $a \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}$, $\sup(E) \leq a$ si et seulement si $b\leq a$ pour tout $b$ dans $E$.
[size=x-small](*) on voit parfois $\sup(\text{machin})=+\infty$ dans des livres même si les sups ne sont a priori définis que dans $\R$. Si ça gêne, au pire, on restrent l'exposé à des parties majorées de $\R$.[/size]
Il y a plein de définitions possibles, la plus naturelle étant celle de l'ensemble des triplets $(a,b,c)$ tels que
$$a\geq 1\ et\ a^b<c$$
par exemple, faisable en 4ième**, mais où le nombre $e$ n'émergera qu'après argumentation.
Comme aussi déjà dit par au moins une personne, passer par des trucs qu'on sait bien après*** pour "rendre facile" la preuve d'existence me parait malhonnête pédagogiquement.
*** $e^x=\sum_i$ $(x^i/(Factorielle(i)))$
** puisqu'on peut se contenter de la faire pour les rationnels, donc regarder les entiers $a,b,c,d$ tels que $a^b<c^d$
edit: je parlais du $(1+x/n)^n$
On admet l'axiome des suites croissantes majorées, on démontre la propriété des suites adjacentes, on démontre en lemme l'inégalité de Bernoulli par récurrence (bonne idée d'ailleurs puisqu'on est censé exercer les élèves à la récurrence en terminale). On montre que les suites $(1+x/n)^n$ et $(1-x/n)^{-n}$ sont adjacentes en montrant que le quotient tend vers $1$ et puis on continue comme dans le document de gai requin.
@Foys : Théoriquement, on est aussi censé faire du $\epsilon, \eta$ rigoureux lorsqu'on introduit les limites. Par exemple il faut démontrer avec la définition que $1/x \to 0$ lorsque $x \to +\infty.$ Il suffit bien sur de poser $\eta = 1/\epsilon$ mais je ne sais pas combien de profs le font réellement.
Je précise pourles lecteurs que nous parlons évidemment d'élèves théoriques de niveau ceci ou cela (niveau TS par exemple). Autrement dit de "niveaux juridiques".
Evidemment, vu le crash du secondaire et la solution qu'ont trouvé les profs (pour se sauver du naufrage( de filer les corrections à l'avance des interros etc, pour simuler des apparences RAS)) a conduit à non pas une baisse de niveau mais à une absence (voir une présence négative de niveau) et seuls d'exceptionnels élèves pourraient comprendre ce que nous racontons là.
HS OFF
(j'ai précisé car je sais que chez beaucoup de collègues, il peut y avoir cette compulsion d'utiliser des expressions toutes faites du genre "les élèves comprennent ceci, mais pas cela" qui peuvent être lues dans leur sens littéral par des visiteurs ne sachant pas la situation (que c'est du chinoiss pour les gamins tout ça))[/small]
En première, notion de suites, limites de suites et suites adjacentes et puis en terminale tout le reste dont on a parlé.
En L1, ce serait à mon avis une bien mauvaise stratégie de faire ça puisqu'au final, en L1, on possède l'outil des séries et des critères de convergence. Du coup, il peut bien entendu introduire l'exponentielle via $\exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$ et démontrer la convergence via le critère de d'Alembert. Tout le blabla qu'on fait ici, c'est uniquement pour éviter les séries et les intégrales.
Ces choses sont intéressantes en soi.