Application compacte

Il te suffit d'ouvrir ton cours et de chercher la caractérisation séquentielle de la compacité dans un espace métrique : à toi de jouer !

Si $(x_n)_n$ est une suite d'éléments de $B_E$, $(u(x_n))_n$ est une suite d'éléments de... Or ... est ... car $u$ est compacte. Donc ...

Pour la (iii)=>(i) il faut donc montrer que $u(B_E)$ est contenu dans un compact (il suffit de le montrer pour la boule unité centrée en $0$ car par linéarité de $u$ ce sera vrai pour toutes les autres boules).

Par l'hypothèse (iii) et par caractérisation séquentielle des compacts on peut dire que $\overline{u(S_E)}$ est compact. Posons $K:=\overline{u(S_E)}$.

Soit $x\in B_E$ si $x\neq 0$ alors $u\left(\dfrac{x}{\|x\|}\right)\in K$ donc $u(x)\in \|x\|\cdot K$.

@bruno31880 À partir de là comment tu peux en déduire que $u(B_E)$ est contenu dans un compact ?

L'idée est bien d'utiliser une fonction continue pour obtenir le compact voulu mais ta fonction ne fait pas le job car tu prendrais quel $\lambda$ ?.

Plus précisément, si je prends $x_1,x_2$ dans $B_E$ alors je peux dire que $u(x_1)\in \|x_1\|\cdot K$ et $u(x_2)\in \|x_2\|\cdot K$ mais du coup $u(B_E)$ il est inclus dans quoi ? Tu vois bien que rien nous dit que $u(x_2)$ appartient à $\|x_1\|\cdot K$ donc je ne peux pas dire que $u(B_E)$ est inclus dans le compact $\|x_1\|\cdot K$ et idem je ne peux pas dire qu'il est inclus dans le compact $\|x_2\|\cdot K$.

Modifie ta fonction pour que $\lambda$ devienne un argument de la fonction.

Pense plutôt à $\phi: [0,1]\times E\to E, (\lambda, x)\mapsto \lambda x$.