Espaces de suites
dans Analyse
Bonsoir
J'aimerais avoir de l'aide sur les questions 2 et 3 de cet exercice.
Cordialement.
J'aimerais avoir de l'aide sur les questions 2 et 3 de cet exercice.
Cordialement.
Réponses
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Bonjour,
Pour commencer jette un oeil à la suite de suites
\begin{align*}
&1,0,0,0,\cdots \\
&\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0,0,0,\\
&\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},0,0,0,\cdots\\
&\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},0,0,0,\cdots\\
&\\
&\cdots
\end{align*} -
Oui merci.
Pour commencer si je ne m'abuse effectivement pour tout $p>1$ la quantité-$p$ converge bien vers zéro. D'où la convergence vers la suite nulle. -
Elle est aussi dans la sphère unité de E puisque de norme 1 avec la norme usuelle de l1.
Cependant elle ne peut pas avoir une extraction convergente car s'il y en avait une sa limite serait la série harmonique qui n'est pas dans l1.
Est ce correct? -
Bonjour
Je ne vois pas pourquoi la convergence d'une suite extraite serait la série harmonique.
Pour moi ce n'est pas correct.
Par contre cela serait utile de comparer $||x||_p$ et $||x||_q$ si $1\leq p<q.$ -
Il me semble que « la limite serait la série harmonique » est une sorte « d’idée explicative ».
Cela dit, je me trompe peut-être mais ce n’est pas vraiment la série harmonique que cela m’évoque.
En effet, la série harmonique commence par $1/1+1/2+1/3+1/4\ldots$
Alors que dans la suite étudiée c’est plutôt $1+0+0\ldots$ puis $1/2+1/2+0+0\ldots$ puis $n(1/n+1/n+\cdots+1/n)+0+0\ldots$ (avec la norme $\ell^1$).
Mais attention j’ai peut-être mal compris et mélangé deux messages. -
Oui en effet ce n'est pas la série harmonique.
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Oui Si q>p ||.||q<||.||p
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Il s'agit simplement de remarquer que la seule valeur d'adhérence possible est $0$.
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Preuve de ton résultat de comparaison des normes ?
Pas qu'il soit spécialement difficile à montrer mais si tu as l'air de balbutier un peu sur ces notions je pense qu'il est bon de préciser d'où vient ce résultat. -
Bonjour,
On peut vérifier manuellement que la suite proposée fonctionne. Mais cela peut aussi être bien de voir d'où vient l'idée, et de manipuler un peu plus ces normes.
Un petite question préliminaire pour mieux comprendre : dans le cas de $\mathbb{R}^n$ muni des normes similaires, une telle situation est-elle possible? Peut-on comparer les normes 1 et $p$ explicitement? -
Si p>q, lxkl^p - q/ llxll^p-q =< 1
on arrive à lxkl^p / llxll^p =< lxkl^q/llxll^q
lxkl^p =< lxkl^q llxll^(p-q)
Et l'on somme sur k pour aboutir au résultat llxllp =< llxllq
Désolé je ne suis pas habitué aux outils pour écrire des math en ligne.
Je m’aperçois que mon cours d'espaces fonctionnels est plus difficile à suivre que ce qui est expliqué sur wikipédia.
Il y a beaucoup de "tout simplement" dedans et cela n'aide pas. Mais grâce à vos explications j'espère pouvoir progresser.
Je travaille les math en parallèle de mon emploi.
À bientôt. -
Par la suite je suis bien d'accord que la convergence dans l1 implique celle dans lp p>1 à cause de cette relation ( ll.llp est plus fine pour tout p>1).
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Pourriez-vous m'éclairer sur le "simplement" que je ne vois pas malheureusement.
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Si j’ai bien suivi.
Quand on dit « la seule valeur d’adhérence est $0$ », on parle de la suite nulle (i.e. tous les termes de la suite sont nuls).
Pour remarquer que la seule valeur d’adhérence est la suite nulle : soit une valeur d’adhérence (c’est-à-dire une suite qui est valeur d’adhérence) et supposons que ce ne soit pas la suite nulle. Alors il existe au moins un terme de la suite qui n’est pas zéro. Et là on travaille un peu, on écrit les choses…
Je dis à nouveau « si j’ai bien suivi » car je ne suis jamais certain que des messages sont bien des réponses à d’autres. -
Oui alors je propose une explication posons une extraction convergente vers une suite non nulle x dans l1, llxn-xll->0, qui implique alors la convergence dans tous les lp, p>1, à cause de la règle de la finesse des normes des espaces lp.
Cela implique que x est la suite nulle par unicité de la convergence dans les lp, p >1, cela vous parait-il correct. Si je pose la question ici c'est que personnellement je n'ai pas trouvé vous pensez bien. -
Et pour conclure, pourquoi une telle suite ne converge pas vers 0 dans l^1 ?
Edit : je n'avais pas lu l'hypothèse de l'énoncé qui rend ça évident, désolé -
Parce que la convergence n'a lieu que pour p>1 ?
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Relis l'énoncé, il y a une raison toute bête.
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Bonjour
Une petite info pour les maths en ligne: on peut très vite écrire pas mal de choses assez facilement.
A savoir pour commencer indice a_1 exposant a^2 fraction \frac{1}{x^2+1} intégrale
\int_0 ^{+\infty}.... somme \sum_{n=0}^{+\infty} ...tout cela entre 2 dollars
ce qui donne
*************************************
indice $a_1$ exposant $a^2$ fraction $ \frac{1}{x^2+1}$ intégrale
$\int_0 ^{+\infty}$.... somme $\sum_{n=0}^{+\infty}$ ...tout cela entre 2 dollars
Ensuite pour tout nouveau symbole inconnu de ta part, tu fais une recherche sur internet
par exemple "symbol plus moins avec Latex"... -
Merci pour votre aide.
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J'avoue que je ne vois pas. Je suis désolé d'être aussi laborieux. Merci pour votre aide en tout cas.
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@bruno31880 ce qu'il te reste à voir je crois est que :
1) si ta suite converge dans $\ell^1$ alors elle converge forcément vers $0$ (la suite nulle).
2) ceci est impossible. -
Oui pour le 1) mais pourquoi cela est il impossible
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C'est impossible car... ta suite se trouve sur la sphère unité : tous les éléments de la suite sont de norme 1 dans $\ell^1$.
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Je suis completement passé à côté Boule et Sphère oui donc les mots sont importants il faut bien lire en effet et la suite exemple proposée est dans la sphère (donc de norme 1) ... et oui !.
Effectivement en partant de la sphère c'est plus simple pour trouver cette suite.
Ah oui du coup j'étais complétement passé à côté de ça -
Pour la 2) on peut dire déja que la norme vaut 1 dans l1 et tends vers zero pour tout p>2.
Le fait que ce soit 2 m'amène à penser à la dualité avec l'exposant conjugué je suis dans la bonne voie? -
En effet. Peut-être écrire tout p entre 1 et 2 sous une forme particulière va-t-il t'éclairer (pour vendre l'astuce, p = 1 + un inverse).
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En passant par l'inégalité de Holder? votre idée consiste a faire apparaitre un 1 pour avoir la norme l1 qui vaudra 1 et un autre terme
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Oui, c'est l'idée. Il faut bien forcer l'apparition de nos deux seules hypothèses.
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J'ai une question annexe est ce que dans les algèbres de banach lp la norme est sous multiplicative?
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Pour le coup, ça c'est facile en l'écrivant. La réponse est oui.
Pour la question de base as-tu une idée maintenant ? -
Pour la sous-multiplicativité en l'écrivant bon il faut que je regarde ça.
Je bricole des trucs pour le p=1+1/u mais je n'ai pas encore trouvé, je voulai partir sur l'inégalité de holder en séparant les deux termes celui puissance 1 et l'autre puissance 1/u. Puis passé par u et u' (1/u+1/u'=1). J'arrive à
Somme(u^n)<= [Somme(xn^u')]1/u' -
Bonjour
Si $1<r< p$ on peux écrire $1/r=t+(1-t)/p$ avec $t\in]0,1[$
et on montre avec l'inégalité de Hölder que $||x||_r\leq ||x||_1 ^t ||x||_p^{1-t}.$
Ceci devrait suffire pour conclure. -
Tu n'arrives pas à conclure avec ton inégalité ?
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Bonsoir
Je pense ne pas être trop loin du but en élevant à gauche à la puissance n.
Je voulais vérifier qu'u' était bien supérieur à 2, ça m'aurait bien arrangé
tu peux m'aider? -
Ce n'est pas toujours vrai, mais avec les propriétés de croissance des normes on peut s'arranger pour ne le vérifier qu'avec les p qui vérifient ça et ça marchera avec tous (pour savoir lesquels ce sont, il suffit de calculer explicitement l'exposant conjugué).
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Ce n'est pas grave merci, l'autre solution permet de conclure avec p>2
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Sinon ce à quoi je pensais de base.
Il suffit de le montrer pour $p < \frac{3}{2}$ par décroissance des normes.
On écrit que $p = 1 + \frac{1}{q}$ et Hölder donne :
$|| x_{n}||_{p}^{p} \leq ||x_{n}||_{q'}$ où q' est l'exposant conjugué de q.
Comme $q' = \frac{q}{q-1}$, le fait que $q < 2$ implique qu'on peut bien appliquer notre hypothèse au membre de droite qui tend donc vers 0.
Mais j'ai fait une erreur en retournant une inégalité en raisonnant de tête... -
Merci faire des erreurs est humain je vais regarder ton idée.
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