Densité de $2\pi a\N+2\pi\Z$ dans $\R$

Juste pour démarrer, on peut le montrer pour $\mathbb{N}+ \theta \mathbb{Z}$ avec $\theta \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$: ce sera général, car $2 \pi \alpha \mathbb{N}+ 2 \pi \mathbb{Z}=2\pi \alpha(\mathbb{N}+\frac{1}{\alpha}\mathbb{Z})$ aura la même propriété de densité dans $\mathbb{R}$. Mais c'est bien plus lisible.

Ensuite, on peut vérifier que tout voisinage d'un réel $x$ rencontre le groupe l'ensemble pour conclure à la densité. Soit $\varepsilon >0$, alors la densité de $\mathbb{Z}+ \theta \mathbb{Z}$ donne un candidat à $\varepsilon$ près. Soit il est déjà de la forme $\mathbb{N}+\theta \mathbb{Z}$, soit ce n'est pas le cas, et il faut trouver une façon de se ramener à cette forme tout en restant proche, à coups de parties entières / divisions euclidiennes (on dispose en fait de sauts relatifs de taille $\theta$ pour arriver dans un endroit où il suffira d'ajouter des entiers naturels afin de parvenir très proche de $x$).

RAPPEL

$\bullet$ Une partie $S$ de $\mathbb R$, additivement stable, qui contient un réel strictement positif et un réel strictement négatif, est de l'un des trois types :
(1) $S=\mathbb R$ ;
(2) $S=\mathbb Z a$, $ a \in \mathbb R_+^*$ ;
(3) $S$ dense, d'intérieur vide.

$\bullet$ Un sous-groupe additif $G$ de $\mathbb R$ est de l'un des quatre types :
(1) $G=\{0 \}$ ;
(2) $G=\mathbb R$ ;
(3) $G=\mathbb Z a$, $a \in \mathbb R_+^*$ ;
(4) $G$ dense, d'intérieur vide.