Densité de $2\pi a\N+2\pi\Z$ dans $\R$
Bonsoir, j'ai lu dans un des derniers post que pour a un réel irrationnel, de la densité de 2piaZ+2piZ dans R on peut déduire celle de 2piaN+2piZ dans R.
Si 2pia un + 2pi vn tend vers un réel x quelconque, soit un est positif pour une infinité de n auquel cas on peut extraire et c'est gagné, sinon je ne vois pas trop.
On peut distinguer si x est déjà dans 2piaN + 2piZ, il n'y a rien à faire sinon on voit que les suites (un) et (vn) ne peuvent pas être bornées donc on peut les supposer divergente vers +/- infini monotone et par souci de convergence ces deux infinis sont opposés.
À part ça je ne trouve rien d'autre, je vous demande donc humblement de l'aide.
Cordialement.
Si 2pia un + 2pi vn tend vers un réel x quelconque, soit un est positif pour une infinité de n auquel cas on peut extraire et c'est gagné, sinon je ne vois pas trop.
On peut distinguer si x est déjà dans 2piaN + 2piZ, il n'y a rien à faire sinon on voit que les suites (un) et (vn) ne peuvent pas être bornées donc on peut les supposer divergente vers +/- infini monotone et par souci de convergence ces deux infinis sont opposés.
À part ça je ne trouve rien d'autre, je vous demande donc humblement de l'aide.
Cordialement.
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Réponses
Ensuite, on peut vérifier que tout voisinage d'un réel $x$ rencontre le groupe l'ensemble pour conclure à la densité. Soit $\varepsilon >0$, alors la densité de $\mathbb{Z}+ \theta \mathbb{Z}$ donne un candidat à $\varepsilon$ près. Soit il est déjà de la forme $\mathbb{N}+\theta \mathbb{Z}$, soit ce n'est pas le cas, et il faut trouver une façon de se ramener à cette forme tout en restant proche, à coups de parties entières / divisions euclidiennes (on dispose en fait de sauts relatifs de taille $\theta$ pour arriver dans un endroit où il suffira d'ajouter des entiers naturels afin de parvenir très proche de $x$).
$\bullet$ Une partie $S$ de $\mathbb R$, additivement stable, qui contient un réel strictement positif et un réel strictement négatif, est de l'un des trois types :
(1) $S=\mathbb R$ ;
(2) $S=\mathbb Z a$, $ a \in \mathbb R_+^*$ ;
(3) $S$ dense, d'intérieur vide.
$\bullet$ Un sous-groupe additif $G$ de $\mathbb R$ est de l'un des quatre types :
(1) $G=\{0 \}$ ;
(2) $G=\mathbb R$ ;
(3) $G=\mathbb Z a$, $a \in \mathbb R_+^*$ ;
(4) $G$ dense, d'intérieur vide.