Fonction continue

La première notation parle de fonctions $C^{\infty}$ sur un fermé. Il faut voir quelle définition on donne à cet ensemble mais habituellement une fonction $C^{\infty}$ sur un fermé est la restriction d'un fonction $C^{\infty}$ sur un voisinage ouvert de ce fermé.

La seconde notation parle de fonctions $C^{\infty}$ à support compact dans $\Omega$. En particulier, comme elles sont à support compact, elles peuvent être prolongées par $0$ à l'espace $\R^n$ tout entier. On a donc l'inclusion $$C_c^{\infty}(\Omega) \subset C^{\infty}(\bar{\Omega}).$$ (En réalité c'est plutôt une injection. A $f$ j'associe $\hat{f}|_{\bar{\Omega}}$ où $\hat{f}$ est l'extension par $0$ de $f$ sur $\R^n$.)

L'autre inclusion est évidemment fausse. Pense par exemple aux fonctions constantes non-nulles.