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Convergence uniforme

bruno31880bruno31880
dans Analyse
Dans la série d'exercices sur les espaces fonctionnels.125060

Réponses

  • bruno31880bruno31880
    Pour la 1. Prenons une suite de fonctions de F (fn) qui convergent vers f montrons que f est un élément de F.
    La convergence uniforme || || infini de la suite de fonctions (fn) de F (s'annulant en un x0 (dépendant de fn) de X compact) vers f garantit que f s'annule sur X et donc appartient à F ce qui démontre que F est bien fermé.
    J'aimerasi être plus précis surtout pour arriver à démontrer que f s'annule sur X.
  • DomDom
    Bonsoir,

    « […] garantit que […] » est une formule rhétorique affirmant quelque chose, et ainsi dit, il serait bon de le démontrer.

    Une remarque : plutôt noter $x_n$ le (en fait « un ») point qui annule $f_n$.

    Cordialement

    Dom
  • Math CossMath Coss
    La notation $x_0$ pour un élément de $X$ qui dépend de $n$, disons que ce n'est pas génial.

    L'affirmation que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ garantit l'annulation de $f$ quelque part n'est en rien justifiée. Ah, en fait c'est ce que tu dis dans la dernière phrase. Je ne comprends donc pas « être plus précis » : il ne manque pas de précision à un argument, il manque un argument... [Grillé par Dom pour ce point.]

    Bon, essayons d'être plus constructif. Pour $n$ entier, il existe $x_n$ dans $X$ tel que $f_n(x_n)=0$. On sait que $\bigl(f(x_n)\bigr)=\bigl(|f(x_n)-f_n(x_n)|\bigr)$ tend vers $0$ mais on ne sait pas que $(x_n)$ converge. Coup de chance, on est dans un compact, on peut extraire !
  • bruno31880bruno31880
    Effectivement vous avez raison xn c'est vraiment une meilleure idée.
    C'est plus précis donc (f(xn)) tends vers zero oui par uniforme continuité.
    Et donc on est dans un compact de la suite (xn) on peut extraire une sous suite convergente xphi(n) qui converge vers un x pour n suffisamment grand et donc l'existence d'un x pour lequel f(x) tends vers zéro d'ou le résultat.
    Il me manque toujours le petit plus je devrai poser les choses pour arriver à plus d'efficacité, merci.
  • bruno31880bruno31880
    La suite du problème125066
    t2.png 51.2K
  • bruno31880bruno31880
    Je pense essayer avec cette formulation, avec une suite de fonction (yn(t)) convergente vers y(t) et démontrer que l'égalité sous forme intégrale est encore vérifiée pour y(t). Il faudra certainement pour cela utiliser un théorème d'inversion limite intégrale, c'est le coeur du problème... :)125076
  • Math CossMath Coss
    La formulation équivalente est suspecte. Prenons par exemple une situation où $f(t,y)=yg(t)$ avec $g$ un peu ce qu'on veut, par exemple $g$ constante égale à $2$. L'équation différentielle s'écrit $y'=2y$, ce qui donne de jolies solutions exponentielles. Si je comprends bien l'équation intégrale, c'est \[y_n(s)=\int_0^1f(t,y_n(s))\mathrm{d}t=y_n(s)\int_0^1g(t)\mathrm{d}t\] pour tout $s$, ce qui pose problème (par exemple si $g(t)=2$ pour tout $t$). Ou bien je comprends mal et il faut lire l'intégrale comme \[\int_0^1f\bigl(t,y_n(t)\bigr)\mathrm{d}t,\] mais cela pose problème aussi parce que c'est une constante...
  • bruno31880bruno31880
    Pour le théorème d'inversion limite/intégrale:

    (a) I=[0,1] est borné.
    (b) gn=f(t,yn) converge uniformément vers g=f(t,y). (f continue et convergence uniforme de yn vers y)
    (c) pour tout n, gn est intégrable.

    Ce qui permet de conclure sur la fermeture de F
  • bruno31880bruno31880
    Pour le 3 je pense qu'il s'agit de montrer que la limite uniforme de fonctions k lipschitzienne est encore k lipschitzienne
  • Math CossMath Coss
    Tu penses vraiment avoir résolu la 2 ? À partir d'une formule manifestement vérolée et d'une psalmodie qui ressemble à un théorème ?
  • bd2017bd2017
    Bonnjour
    $y(t)=y(0)+\int_0^t f(u,y(u)) du$ à utiliser...

    Mais il faut autre chose que du très vague et sans consistance.
     
  • bruno31880bruno31880
    Merci je n'attends pas moins de grands experts en mathématiques comme vous pour, pas leur pédagogie de m'aider à progresser, c'est l'objectif de ce forum je pense?.

    Merci
  • bruno31880bruno31880
    Merci pour y(t)=y(0)+Intégrale(f(u,y(u))du) c'est plus précis en effet.
  • Math CossMath Coss
    C'est surtout moins faux ! D'où vient cet emploi aussi fréquent qu'inapproprié du mot « précis » ?
  • bd2017bd2017
    Bon Ok, mais attention je ne pense pas être un grand expert.

    Oui le forum sert à obtenir de l'aide mais sous certaines conditions...


    Vu ta question, on attend le début de ton raisonnement et ensuite surement quelqu'un te guidera.
     
  • bruno31880bruno31880
    C'est un fait qu'exact est plus approprié que précis. Il faut aussi rester cordial à mon sens et avoir à l'esprit de conserver le savoir vivre. Mais c'est un point de vue.
  • Math CossMath Coss
    D'accord, c'était un peu sec.
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