Calculer cette integrale

Zakariyae · July 2021

Salut à tous
Comment calculer cette intégrale
$$I_n=\int_0^\infty \frac{\sinh^{2(n+3)}(t)}{\cosh^{2(n+5)}(t)} dt, \quad \text{pour tout } n\in\mathbb N.

$$ On a $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sinh^{2(n+3)}(t)}{\cosh^{2(n+5)}(t)} dt= \int_0^\infty \frac{dt}{\sinh^{4}(t)\coth^{2n+10}(t)} dt$.
Et on sait que $ \coth(x)=\dfrac {\cosh (x)}{\sinh (x)}$ et que sa dérivée est $ \dfrac {-1}{\sinh} ^{2}.$
Merci d'avance.

rémi · July 2021

Bonjour,
Je n'ai rien essayé mais ma première idée serait de revenir à une écriture avec des exponentielles.
As-tu essayé ?

D'ailleurs, qu'as tu essayé ?

bd2017 · July 2021

Bonjour
Cela se calcule très bien en exprimant ta fonction avec la fonction $\tanh$

La fonction vaut $f(t)=\tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2)^2$ et puisque

$\tanh(t)'=1 -\tanh(t)^2 $ on trouve une primitive de $f$ immédiatement.

Zakariyae · July 2021

@bd2017, oui oui mais le problème on tombe sur une intégrale de type $\int (f')^2(t) f^k(t) dt$. Car
$$\int f(t) dt = \int_0^\infty \tanh(t)^{2n + 6} (1-\tanh(t)^2)^2 dt = \int_0^\infty \tanh^{2n+6}(t)(\tanh'(t))^2 dt $$

Zakariyae · July 2021

@Rémi, revenir à une écriture avec des exponentielles, on obtient
$$I_n=2^4\int_0^\infty \frac{(e^t-e^{-t})^{2n+6}}{(e^t+e^{-t})^{2n+10}} dt.$$

bd2017 · July 2021

Pas de problème :

$I_n=\int_0^\infty \tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2) (1 -\tanh(t)^2) dt$

$I_n=\int_0^\infty [\tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2)-\tanh(t)^{2n + 8} (1 -\tanh(t)^2) ] dt$

et tu as deux morceaux qui s'intègrent de la même façon et facilement .

Zakariyae · July 2021

Ok, donc finalement
$\begin{align}
I_n &= \int_0^\infty \tanh(t)^{2n + 6} (1-\tanh(t)^2)^2 dt = \int_0^\infty \tanh^{2n+6}(t)(\tanh'(t))^2 dt \\
&=\int_0^\infty [\tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2)-\tanh(t)^{2n + 8} (1 -\tanh(t)^2) ] dt\\
&=\int_0^\infty [ \tanh(t)^{'} \tanh(t)^{2n + 6} - \tanh(t)^{'} \tanh(t)^{2n + 8} ] dt \\
&=\left[ \frac{\tanh(t)^{2n + 7}}{2n+7} - \frac{\tanh(t)^{2n + 8}}{2n+9} \right]_0^\infty\\
&=\frac{1}{2n+7} - \frac{1}{2n+9}=\frac{2}{(2n+7)(2n+9)}.
\end{align}$
Merci infiniment @bd2017 (tu)

Calculer cette integrale

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 11