Fonction à deux variables

jd99 · July 2021

Salut
Soit $\Omega$ un domaine borné.
Si $f \in L^2(0,T;L^{\infty}(\Omega))$, alors:
$$ \begin{array}{cccl}
f:&[0,T]&\longrightarrow& L^{\infty}(\Omega)\\&
t&\longmapsto& \begin{array}[t]{cccl}f(t):&\Omega&\rightarrow &\mathbb{R}\\
& x&\mapsto&\big(f(t)\big)(x)\end{array}
\end{array}
$$ Est-ce que $\quad \big(f(t)\big)(x)=f(t,x) \quad?$
Est-ce que on peut écrire :
$$\begin{array}{crcl}
f:&[0,T]\times \Omega&\longrightarrow&\mathbb{R}\\
&(t,x)&\longmapsto& f(t,x)
\end{array}$$

bd2017 · July 2021

Pour moi $ f\in L^2(0,T;L^\infty (\Omega)) $ ssi $\int_0^T ||f(t)||^2_\infty dt <\infty $

Mais il me semble bien qu'il est coutumier d'écrire $f(t,x)$ à la place de $f(t)(x).$

En fait tu peux identifier f à une fonction définie presque partout $[0,T]\times \Omega$ à valeurs dans $\C$ donc je ne vois pas un inconvénient à écrire $f(t,x).$ Ce qui compte c'est la norme que tu mets dessus.

Par exemple l'espace $L^2([0,T] \times \Omega)$ a surement une intersection avec $ L^2(0,T;L^\infty (\Omega)) $ mais ils ne sont pas identiques car ils n'ont pas la même norme.

Ceci peut expliquer qu'on écrive $f(t,x)$ au lieu de $f(t)(x).$

jd99 · July 2021

Si on écrit $ (f(t))(x)$ cela veut dire que $t $fixé et $x$ varie dans $\Omega$ mais l'écriture $f(t,x)$ les deux variable $t$ et $x$ varient.
Peut être que l'écriture ci dessous est faux si on écrit à la place de $ (f(t))(x)$ la fonction $f(t,x)$ !
$\begin{array}{cccl}
f(t):&\Omega&\rightarrow &\mathbb{R}\\
& x&\mapsto& f(t,x)\end{array}$

Fonction à deux variables

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