Domination

Bonjour
Je réfléchissais un peu sur le critère de domination qu'on voit dès la première année.

Critère.
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang $N$.
$u_{n} \in O(v_{n})$ ssi la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée.

La Démo de mon cours.
Pour $n\geq N$ comme $v_{n}$ est non nulle, alors $|u_{n}|\leq \lambda.|v_{n}|$ ssi $|\frac{u_{n}}{v_{n}}| \leq \lambda$.

Ma question est peut-être étrange mais bon, je veux être éclairé.
Qu'est-ce qui nous fait dire que l'entier $N$ est celui qui entraîne l'équivalence ?
En effet si je veux démontrer le résultat dans les deux sens.
Si je suppose que $u_{n} \in O(v_{n})$, lorsqu'il existe $M \in \mathbb{R_{+}}$, tel qu'il existe $N'$, pour tout $n\geq N'$ alors $|u_{n}|\leq M|v_{n}|$.
Je pense que prendre $n\geq \max\{N,N'\}$ permet d'avoir $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée. Et on ne dit pas si la suite précédente est bornée à partir d'un certain rang. La démonstration du livre n'est-elle pas un peu floue sur le choix de $n$ ?
Si je trace un graphique pour illustrer ce que je pense, on a