Une implication

jd99
jd99
dans Analyse
Salut
Soit $\Omega$ un domaine borné.
$$ (u_{tt},v)+(g,v)=(f,v),\quad \forall v\in H^{1}_{0}(\Omega) \quad \implies \quad u_{tt}+g=f .
$$ $(.,.) $produit scalaire dans $L^2(\Omega)$
Quelle est le résultat qui permet de donner l'implication au dessus ?

Réponses

  • Le poisson
    Le poisson
    Cet espace contient les fonctions infiniment derivables à support compact dans ton ouvert Oméga.
  • jd99
    jd99
    Oui, $H^1_0(\Omega)$ est la fermeture de $D(\Omega)$ dans $H^{1}(\Omega)$ pour la norme de $H^1$.
    Mais qu'est-ce que vous voulez dire ?
  • raoul.S
    raoul.S
    @jd99 de manière générale si $\langle .,.\rangle$ est un produit scalaire sur un espace de Hilbert $E$ et si $x\in E$ vérifie $\langle x,y\rangle = 0$ pour tout $y$ dans un sous-espace dense, alors $x=0$. C'est le résultat qui permet d'avoir ton implication.

    Dans ton cas tu as bien $(u_{tt}-g-f,v)=0$ pour tout $v$ dans un sous-espace dense. C'est ce que voulait dire Le poisson.
  • jd99
    jd99
    Si on suppose ici que $E=L^2(\Omega)$ et $\langle x,y\rangle=0,\ \forall y\in D(\Omega)$,
    on a normalement $x=0$ dans $L^2(\Omega),$ donc $x =0\ p.p$ ??? (une égalité presque partout seulement !).
  • raoul.S
    raoul.S
    jd99 a écrit:
    une égalité presque partout seulement !

    Oui. Si tes fonctions $u_{tt},g,f$ sont continues alors l'égalité est partout.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Sachant que le produit scalaire ne différencie pas les égalités presque sûres tu ne peux pas avoir mieux. Mais ce doit être une égalité dans $L^{2}$ dans ton énoncé.
  • jd99
    jd99
    Riemann_lapins_cretins a écrit:
    Sachant que le produit scalaire ne différencie pas les égalités presque sûres

    Je n'ai pas compris !
  • Poirot
    Poirot
    Si $u = \tilde u$ presque partout alors $\langle u, v \rangle = \langle \tilde u, v \rangle$ pour tout $v$ (dans les bons espaces). En particulier, tu ne peux pas faire la différence entre la fonction nulle et une fonction non nulle mais nulle presque partout juste avec un produit scalaire.
  • jd99
    jd99
    Poirot
    Si $\langle u,v\rangle_{L^2(\Omega)}=0,\ \forall v \in L^2(\Omega)$ alors on a $u=0 p.p$. Donc on a obtenu une inégalité presque partout à partir d'un produit scalaire... vous voulez dire que $u=0 p.p$ n'implique pas $\langle u,v\rangle_{L^2(\Omega)}=0,\ \forall v \in L^2(\Omega)$ ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • math2
    math2
    De toutes façons le $L^2$ est un espace de classes de fonctions, dont $0$ est un représentant de la classe des fonctions p.p. nulles, contrairement à l'espace (non normé) ${\mathcal L}^2$ où là sont distinguées deux fonctions égales p.p.
  • jd99
    jd99
    $L^{2}(\Omega)=\left\{\bar{f}\mid f\in \mathcal{L}^2(\Omega)\right\}$
    $\bar{f}=\left\{g\in \mathcal{L}^2 \mid g\sim f\right\}$
    $g\sim f$ est la relation d'équivalence $g=f ~p.p$.
    $\|f\|_{L^{2(\Omega)}}=0 \implies \bar{f}=\bar{0} \implies f\sim0$.
    Je pense que si on confond les classes d'équivalence avec les représentants ça donne $f=0$.
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