Série numérique

Sadio · September 2021

Bonjour à tous j'espère que vous allez bien.
J'ai un problème sur un exercice que j'ai rencontré.

Nous avons ( 1 / Qn(t) ) = somme pour k allant de 0 jusqu'à n des ( Ak / (t + k) )

Ak étant dans la somme est-il possible de le transposer et l'exprimer en fonction de ( Qn(t) ) et ( t + k ) ?

Dreamer · September 2021

Bonjour.

Telle qu'écrite, cette question est difficile à comprendre.

Pourriez-vous donner des explications sur ce que sont Qn(t) et Ak ?
J'aimerais aussi savoir ce que vous entendez par 'transposer' ?

Merci et à bientôt.

lourrran · September 2021

Sadio a cette formule générale : $\quad\dfrac{1}{Q_n(t)} = \sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{A_k}{t+k}}$.
Il veut "inverser" cette formule, pour obtenir ${A_n} = f(Q)$.

Tu peux déjà écrire ta formule pour $n=0$.
Et en la manipulant, ça te donne une formule simple donnant $A_0$ en fonction de $Q_0(t)$

Puis pour $n=1$, tu obtiens une formule pour $A_1$, etc.
Reste à voir si tu obtiens une formule généralisable, ou un truc très lourd.
Fais les calculs, et partage les si besoin.

[Utilisateur supprimé] · September 2021

De façon complètement similaire à ce qu'on t'a proposé, tu peux adopter un point de vue d'algèbre linéaire et réécrire le problème sous forme d'égalité matricielle $\begin{pmatrix}
1/t & 0 &... & 0\\
1/t & 1/(t+1) &0 & 0\\
... & & & 0 \\
1/t & ... & & 1/(t+n)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A_{0}
\\ ...
\\ A_{n}

\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1/Q_{0}(t)\\
...\\
1/Q_{n}(t)
\end{pmatrix}$ afin de voir quelques propriétés. Par exemple, qu'il est effectivement toujours possible d'exprimer $A_{n}$ en fonction des valeurs précédentes des $1/Q_{k}(t)$ et des $1/(t+k)$ (pour $0\leq k\leq n$) car la matrice est inversible. Reste à voir si cela donne une jolie formule, si c'est ce que tu cherches (avec un pivot de Gauss).

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