Intégrales

\begin{align}\text{J}&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin x\right)dx\\
&\overset{y=\frac{\pi}{2}-x}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\cos y\right)dy\\
2\text{J}&=\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin x\right)dx-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\sin x\right)dx\right)+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\cos y\right)dy\\
&=-\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\tan x\right)dx}_{=\text{G}}+\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin x\right)dx}_{=-\frac{\pi \ln 2}{2}}\\
\text{J}&=\boxed{\dfrac{\text{G}}{2}-\dfrac{\pi \ln 2}{4}}
\\\end{align}

J'allais me coucher quand j'ai vu ton message. Je me suis dit que cela n'allait pas me prendre plus de dix minutes pour faire ce calcul. B-)-

Bonjour,

Indication :
On établit que, pour tout $ x$ tel que $0<x<\pi/2$, $\ln \sin x = -\ln 2-\sum_{k\geq 1} {\cos 2 k x\over k}.$
On permute intégrale et somme pour tomber sur des $\sum_{k\geq 1}$ de ${1\over k^5}$, ${(-1)^k\over k^4}$ et ${(-1)^k\over k^3}.$
On décompose les sommes en $(-1)^k$ en termes pairs et impairs pour exprimer la somme selon $\zeta(4)$ dont la valeur exacte doit être retrouvée : c’est un terme en $\pi^4.$

Wolfy sait le faire, maintenant il faut comprendre comment il fait.

Bonjour
Je n'ai pas fait les calculs mais la démarche donnée par @YvesM n'est-elle pas bonne?

YvvesM sans le faire exprès m'a induit en erreur. Je pensais que la valeur à obtenir était un truc de "degré" $4$ . C'est à dire une combinaison linéaire, à coefficients rationnels, de produits de termes dont la somme des "degrés" est $4$. $\zeta(4)$ est de degré $4$.
Mais si on en croit Wolfy c'est de "degré" $5$, il y a par exemple, $\zeta(5)$, à un facteur multiplicatif rationnel près, qui est un des termes de la somme.
J'avais écrit un script pour PARI GP qui permet empiriquement de savoir si un nombre est une combinaison linéaire de termes de degré $4$. Je l'ai appliqué à l'intégrale d'Etanche et, j'en ai déduit faussement, qu'il devait y avoir des termes pas sympathiques du tout que je ne prenais pas en compte (mais qu'il y avait des termes de "degré" $4$ malgré tout ).

J'ai eu la paresse de remplacer les valeurs de dérivées en $1$ de la fonction digamma qui interviennent dans la formule qui est incluse dans un papier que j'ai mis en lien. Je me suis persuadé, à tort, que c'était des termes dont l'un des facteurs est $\gamma$ que je ratais et que le résultat final risquait d'être compliqué.
Pour revenir à ta question sur le calcul dYves. Je ne suis pas convaincu du tout par son calcul.
Le résultat, à trouver, est une combinaison linéaire à coefficients rationnels des constantes: $\zeta(2)\zeta(3),\zeta(5),\zeta(4)\ln 2$ (merci à Wolfy )
mais dans le calcul proposé par YvesM on ne multiplie par des séries donc je ne vois pas comment on va faire apparaître tous ces termes qui sont des produits de séries. Je pense qu'Yves n'a vraisemblablement pas fait les calculs car il parle de $\zeta(4)$ mais ce nombre n'intervient que multiplié par $\ln 2$ (on se demande bien comment on va obtenir par manipulation de séries ce produit).
Je pense que si on applique ce que dit YvesM on va obtenir une série égale à l'intégrale du départ, mais je me demande bien à quoi cela va nous avancer.

On a: \begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{x^3\cos 2 k x\over k}dx=\underbrace{\frac{{{{\pi} }^{3}} \sin{\left( {\pi} k\right) }}{16 k^2}}_{\text{la série ayant ce terme général est nulle}}-\underbrace{\frac{3 {\pi} \sin{\left( {\pi} k\right) }}{8 {{k}^{4}}}}_{\text{idem}}+\frac{3 {{{\pi} }^{2}} \cos{\left( {\pi} k\right) }}{16 {{k}^{3}}}-\frac{3 \cos{\left( {\pi} k\right) }}{8 {{k}^{5}}}+\frac{3}{8 {{k}^{5}}}\end{align}

Finalement, malgré mes impressions cela semble bien s'arranger. B-)-

NB:
Merci à Maxima pour les calculs.

Jandri merci. Mais c'est cruel de me rappeler que je n'ai pas de mémoire. X:-(