Théorème du changement de variable

Il y a plusieurs choses à dire. La première est que si l'on prend la formule du changement de variable en dimension $n$ et qu'on pose $n=1$ le déterminant de la jacobienne devient simplement la dérivée et on obtient
\[
\int_{\varphi(U)} f(u) \, \mathrm{d} u = \int_U f\big(\varphi(x)\big) |\varphi'(x)|\, \mathrm{d}x
\]
qui n'est pas la formule classique du changement de variable en dimension $1$. Puisqu'il ne s'agit pas d'une vraie généralisation de la formule en dimension $1$ il n'est pas surprenant que les hypothèses soient différentes. À noter aussi qu'en dimension $1$ l'orientation a une importance : $\int_a^b f(t) \mathrm d t = - \int_b^a f(t) \mathrm d t$ et que cette subtilité disparait en dimension supérieure et avec l'usage de la mesure de Lebesgue.

Dans le fil indiqué par Raoul j'explique que le résultat en dimension $n$ est généralement énoncé avec $\varphi$ un $C^1$-difféomorphisme (donc avec $D_x(\varphi)$ inversible) mais qu'on peut s'en sortir avec simplement $\varphi$ qui soit $C^1$ et bijective, sans condition sur $D_x(\varphi)^{-1}$ donc. Le polycopié indiqué par zazou montre qu'on peut encore affaiblir les hypothèses. Le théorème n'est pas énoncé avec des hypothèses minimales, ce n'est pas surprenant non plus, c'est quelque chose de fréquent quand cela permet de simplifier la démonstration. Et ici si on mets une valeur absolue et qu'on suppose que $\varphi$ est un difféomorphisme on obtient un résultat qui colle bien avec l'intégrale de Lebesgue, qui est suffisant pour la plupart des choses qu'on veut faire et dont la démonstration est déjà assez longue comme ça pour ne pas s'embêter à affaiblir les hypothèses.

On pourrait alors se demander s'il n'existe pas une "vraie" généralisation de la formule en dimension $1$. Je crois que oui et qu'il faut alors plutôt regarder du côté de l'intégration des formes différentielles qui est inchangée par tiré en arrière (pullback). On trouve quelques remarques qui ont l'air d'aller dans ce sens sur la page wikipédia des formes différentielles et de leur relation avec les mesures. Mais tout ça reste encore assez vague pour moi, à creuser donc.