Notation forme différentielle
Dans $\R^n$, on désigne pour tout $k \in \{1,\dots,n\}$ par $dx_k$ l'application $\big[(u_1,\dots,u_n) \longmapsto u_k\big]$. EDIT : modifié plus loin.
Soit $f : \R^n \longrightarrow \R$ une fonction différentiable, et soit $a \in \R^n$. Alors la différentielle de $f$ en $a$ est l'application
$df(a) : \R^n \longrightarrow \R$, $u \longmapsto \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k$.
Je la note exprès $df(a)$ au lieu de $d_a f$, $\mathcal{D}_a f$ ou $\mathcal{D}f(a)$ parce que dans le contexte des formes différentielles, on écrit "$df$" etc toujours avec un $d$ minuscule, et il n'y a pas de point en indice.
Et... justement. Comment note-t-on proprement $df$ ?
J'aimerais écrire que $df = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k} dx_k$, mais c'est ambigu : écrit tel quel, on pourrait avoir $df(a) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k} dx_k(a)$ et donc $df(a)(u) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(u) dx_k(a)$, mais moi c'est $df(a)(u) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k(u)$ que je veux.
J'aimerais écrire juste une égalité entre fonctions $df=\dots$ sans utiliser ni $a$, ni $u$, sans que ce soit ambigu. C'est faisable ?
Soit $f : \R^n \longrightarrow \R$ une fonction différentiable, et soit $a \in \R^n$. Alors la différentielle de $f$ en $a$ est l'application
$df(a) : \R^n \longrightarrow \R$, $u \longmapsto \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k$.
Je la note exprès $df(a)$ au lieu de $d_a f$, $\mathcal{D}_a f$ ou $\mathcal{D}f(a)$ parce que dans le contexte des formes différentielles, on écrit "$df$" etc toujours avec un $d$ minuscule, et il n'y a pas de point en indice.
Et... justement. Comment note-t-on proprement $df$ ?
J'aimerais écrire que $df = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k} dx_k$, mais c'est ambigu : écrit tel quel, on pourrait avoir $df(a) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k} dx_k(a)$ et donc $df(a)(u) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(u) dx_k(a)$, mais moi c'est $df(a)(u) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k(u)$ que je veux.
J'aimerais écrire juste une égalité entre fonctions $df=\dots$ sans utiliser ni $a$, ni $u$, sans que ce soit ambigu. C'est faisable ?
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Réponses
Je suis peut-être naïf, mais il me semble que c'est le but de l'indexation par k de permettre de savoir où va telle variable.
À bientôt.
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Dans le sens de Cyrano, les notations en géométrie différentielle ont pris des dizaines d'années avant de se stabiliser, comme en témoigne La Formule de Stokes, roman de Michèle Audin. Je ne suis pas sûr qu'il soit très pertinent de vouloir les améliorer pour éviter des abus ou ambiguïtés assumées par les utilisateurs. M'enfin, ça n'empêche pas de te poser la question, même si en définitive tu ne trouves rien de convaincant.
Pour avoir appris le calcul diff avec Michèle Audin en amphi à l'époque, elle n'économisait vraiment pas sur les notations, comme beaucoup aiment le faire (parce qu'il faut être honnête, en calcul diff, ça devient vite très lourd). Le seul de ses bouquins dans lesquels j'ai jeté un oeil, c'est celui de géométrie. Que j'ai trouvé plutôt bien, de mémoire, d'ailleurs.
Confondre $dx_k$ et $dx_k(x)$ n'est pas un abus plus grand que confondre fonction constante valant $\alpha$ et le réel $\alpha$.
On a bien $df=\sum \partial_{x_i}fdx_i$ et $df(a)=\sum \partial_{x_i}f(a)dx_i$
Dit de manière plus géométrique, si $U$ est un ouvert d'une variété lisse et $\phi$ un isomorphisme (une diffeomorphisme lisse) avec un ouvert de $\mathbb{R}^n$, alors $d\phi$ est une trivialisation de $TU^*$ dans lesquels les formes $d\phi_i=d(x_i\circ \phi)$ sont envoyés sur les $1$-formes coordonnées "constantes".
Si l'on note $x_i$ la fonction $\phi_i$, on a toujours $df=\sum \partial_{x_i}fdx_i$ et $df(a)=\sum \partial_{x_i}f(a)dx_i$; ici l'abus est un peu plus fort, le fait d'etre "constant" n'a de sens que dans la trivialisation et par exemple si l'on avait une connexion, $dx_i$ n'a pas de raison d'être "constant" (parallèle) pour la connexion (mais c'est aussi vrai si on prend $U$ ouvert de $\mathbb{R}^n$ et un connexion qui n'est pas la connexion standard bien sûr).
Je note $x_k$ l'application $\R^n \longrightarrow \R$ "$k$-ième coordonnée" : $x_k(u_1,\dots,u_n)=u_k$. C'est trivialement une forme linéaire.
On a donc immédiatement qu'en tout point $a$, $dx_k(a)=x_k$. Donc $dx_k$ est une $1$-forme différentielle qui est effectivement constante.
Cependant, en notant les choses comme ça, il n'y a pas lieu de dire qu'il existe "$dx_k$ forme linéaire". $dx_k(a+\lambda b)$ est toujours égal à $x_k$.
Si les autres ne s'embrouillent pas à faire ce genre d'abus de notation, c'est tant mieux pour eux. Moi, ça me pourrit la vie, alors je ne le fais juste pas.
Si tu décides de noter $x_k$ l'application $(u_1,\cdots,u_n) \mapsto u_k$, alors oui, tout le monde est d'accord (enfin je crois) sur le fait que $x_k$ est une forme linéaire, donc différentiable, et dont la différentielle est une constante qui vaut, en tout point, $x_k$.
On a donc $df = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k} dx_k$, et donc, pour tout $a$, $df(a) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k(a) = df(a) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) x_k$ et donc, pour tout $a$ et tout $u$, $df(a)(u) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) x_k(u) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) u_k = Mat (df(a)) \cdot Mat (u)$ où on prend les matrices dans la base canonique (et où $Mat(u)$ désigne le vecteur colonne des coordonnées de $u$).
Tout va bien ?
A part ça, je n'aime pas trop noter $x_k$ l'application $k$-ème coordonnée, puisque j'utilise plutôt ça pour désigner la $k$-ème coordonnée d'un point $x$.
PS : Un vecteur don les coordonnées se la pètent, c'est un $Mat(u)(vu)$ !
Tu soulèves cependant un point intéressant, à savoir, comment note-t-on l'application "$k$-ième coordonnée" ? Dans un certain nombre de cours, j'ai lu des choses comme "on désigne par $(x_1,...,x_n)$ les coordonnées dans $\R^n$". C'est relativement imprécis, même si on comprend ce que ça veut dire : si on écrit $x \in \R^n$, alors on sous-entend que $x=(x_1,\dots,x_n)$. L'idée c'est juste de se donner un système de notation des coordonnées, je pense, auquel cas celui-là est le plus naturel (il est même trivial, en soi).
Moi, tout ce que je veux, c'est que la différentielle de l'application "$k$-ième coordonnée" soit notée $dx_k$, puisque ça c'est une notation que tout le monde utilise de la même manière. Du coup, le plus naturel, vu qu'on note $df$ la différentielle d'une fonction $f$, c'est de noter $x_k$ l'application "$k$-ième coordonnée". Moi, ça ne me dérange pas, puisqu'il suffit de ne jamais nommer sa variable $x$. En même temps, ça me paraît mieux de ne jamais utiliser de variable $x$, parce que sinon on a des $\dfrac{\partial f}{\partial x_k}(x_1,\dots,x_n)$ qui traînent et les $x_k$ ont deux significations différentes dans la même formule ! Et ça, c'est mauvais.