Appli différentiable, dérivée non continue
Bonjour à tous,
j'ai un exemple dans mon cours, que je ne comprends pas.
L'application $f:R \to R,\ x \mapsto x^2 \sin(1/x)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$ est différentiable en 0 mais $f'$ n'est pas continue en $0$.
Vu que $f$ est réelle, la différentiabilité en un point $a$ équivaut à la dérivabilité en $a$ et $f'(a)h=df(a)(h)$
J'ai pour tout $x \neq 0$, $\ f'(x)=2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.
Je ne sais pas comment montrer que $f$ est différentiable en 0.
Pour la non continuité de $f'$ en 0, je pensais utiliser une suite $u_n$ qui tend vers 0 et telle que $f'(u_n)$ ne tende pas vers $f(0)=0$, mais je n'arrive pas à trouver une suite qui fonctionne.
Merci d'avance,
bon week-end.
j'ai un exemple dans mon cours, que je ne comprends pas.
L'application $f:R \to R,\ x \mapsto x^2 \sin(1/x)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$ est différentiable en 0 mais $f'$ n'est pas continue en $0$.
Vu que $f$ est réelle, la différentiabilité en un point $a$ équivaut à la dérivabilité en $a$ et $f'(a)h=df(a)(h)$
J'ai pour tout $x \neq 0$, $\ f'(x)=2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.
Je ne sais pas comment montrer que $f$ est différentiable en 0.
Pour la non continuité de $f'$ en 0, je pensais utiliser une suite $u_n$ qui tend vers 0 et telle que $f'(u_n)$ ne tende pas vers $f(0)=0$, mais je n'arrive pas à trouver une suite qui fonctionne.
Merci d'avance,
bon week-end.
Réponses
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Bonjour,
Définition de la dérivabilité en 0 : la limite du taux d’accroissement en 0 existe.
Regarde ce que cela signifie avec cette fonction.
En ce qui concerne $f’$ pour les valeurs non nulles, regarde ton expression.
Le premier terme tend vers $0$ (en $0$) mais le second, derrière le « moins », pose problème.
Cordialement
Dom -
ah le taux d'accroissement, bien sûr !!
merci Dom
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Bonjour!
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