Calculs de sommes de séries numériques

Je ne suis pas bien réveillé... j'ai écrit ça pour ton exercice.

Maintenant je veux finir celui de bd2017.

Je ne suis pas très à l'aise avec les $o$ et j'évite les parties entières comme la peste. Et puis, refaire des "calculs directs" comme en L1 ça fait du bien aussi, j'ai oublié la majorité des réflexes à avoir.

En reprenant les notations de Chaurien, en supposant que mon calcul $R_n =2\ln(2)-1$ est correct, je voudrais calculer $R_n - S_n$.
Je galère dessus depuis avant, je ne sais pas trop comment faire.

$R_n - S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n (n-k)\bigg(\dfrac{1}{n^2+kn} - \dfrac{1}{n^2+kn+2021} \bigg) = 2021\sum_{k=1}^n \dfrac{n-k}{(n^2+kn)(n^2+kn+2021)}$

J'ai essayé de retourner cette expression dans tous les sens mais je n'obtiens jamais rien que je sais calculer.

Ah, mais alors, tu ne calcules pas explicitement $R_n-S_n$ en fonction de $n$, tu calcules uniquement sa limite. C'est ça ?

OShine : Quand $a>0$ et $b\geqslant 0$ : $S_{an+b}$ n'est qu'une suite décalée à partir de $S_{an}$, donc elles ont la même limite. Et $S_{an}$ est une sous-suite ($\varphi : x \longrightarrow ax$ est strictement croissante) de $S_n$ donc elles ont la même limite.

cf ce qu'a dit bd2017.

Je sais, j'ai zoomé dessus exprès. Je me souviens d'un fil où OShine avait du mal avec une suite $(u_{n+N})_n$.

Celui auquel j'ai répondu $\ln(5)$ puis re-répondu que j'avais trouvé $\ln(5)$ ?

Tiens, pour ne pas ouvrir un nouveau fil juste pour une dernière question, je reviens ici.

J'ai dans mon bouquin une série de questions qui demande la nature de $\displaystyle \sum a_n b_n$ en fonction de celles de $\displaystyle \sum a_n$ et $\displaystyle \sum b_n$, supposées être à termes positifs.

1) Si $\displaystyle \sum a_n$ et $\displaystyle \sum b_n$ divergent toutes les deux : $\displaystyle \sum a_n b_n$ peut converger ou diverger. Exemples : $a_n = b_n = \dfrac{1}{n}$ et $a_n = b_n = 1$.

2) Si $\displaystyle \sum a_n$ converge et $\displaystyle \sum b_n$ diverge : pareil. Par exemple, en prenant $a_n = \dfrac{1}{n^2}$, avec $b_n = \dfrac{1}{n}$ ça converge mais avec $b_n = n$ ça diverge.

3) Si $\displaystyle \sum a_n$ et $\displaystyle \sum b_n$ convergent toutes les deux : alors $b_n$ est majorée par $1$ à partir d'un certain rang, donc $a_n b_n \leqslant a_n$ à partir d'un certain rang, donc par comparaison $\displaystyle \sum a_n b_n$ converge.

Normalement, jusqu'ici je n'ai pas raconté de bêtises. Cependant, pour la 3) je me suis demandé si le résultat reste vrai quand on ne suppose plus que les deux séries $\displaystyle \sum a_n$ et $\displaystyle \sum b_n$ sont à termes positifs. J'avais pensé à refaire le même raisonnement mais avec le convergence absolue, mais il existe des séries semi-convergentes. Vu que le bouquin pose la question explicitement pour des séries à termes positifs, je tends à croire que ça ne marche plus sans cette hypothèse, mais j'ai plus de mal à fabriquer un contrexemple.

Ah ben tiens, tu me fournis l'exercice suivant. Ce n'est pas compliqué de voir que $\displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ est convergente.

D'après Wolfy, sa somme est $(\sqrt{2}-1)\zeta\Big( \dfrac{1}{2}\Big)$. C'est certainement plus compliqué à démontrer que les exemples de mon bouquin (en tout cas, je m'attends à ça à cause de $\zeta$), mais vu le thème du fil, autant essayer :-D

J'étais en train de brouillonner mon message quand tu as répondu, JLapin. Tu as évidemment raison que la série que j'ai utilisée diverge.

Cependant, comment fait-on alors le calcul de la somme de ma série proprement ?

Mhm.

En attendant, ton message précédent expliquait comment Wolfy avait fait. J'ai juste retrouvéde manière illégitime la relation $\eta(s) = (2^{s-1}-1)\zeta(s)$.

Pour la démontrer de façon légitime, il y aurait un peu plus de travail. Bon, au moins ma somme encadrée reste vraie.

J'avais commencé un peu à travailler sur des fonctions spéciales, j'avais commencé par la fonction gamma. Des fois, je me dis que puisque tous les chemins mènent à $\zeta$, c'est probablement par celle-là que j'aurais dû commencer. On m'a déjà parlé de tellement de fonctions spéciales qui y sont reliées.

Elle m'intimide un peu, mais c'est peut-être justement la raison de m'y attaquer.

Attention : mon $S$ de tout à l'heure n'est pas égal à $\eta(s)$, l'exposant du $(-1)$ est différent !

J'ai refait les calculs plusieurs fois avant de m'en rendre compte.

C'est encore une erreur de recopiage de ma part (décidément, aujourd'hui !). Dans le message en question, j'ai un $1-s$ qui se change en $s-1$. Je rectifie.