Une application du théorème de Baire

Cet exercice n'a rien à voir avec le lemme de Baire, c'est un phénomène algébrique. L'énoncé est un tantinet fallacieux.

Pour des raisons de cardinalité, je commence par remarquer qu'il existe un entier $N$ et une infinité (non dénombrable) de réels $y$ notée $E$ telle que
$$
\forall x \in \mathbb{R},\qquad P(x,y)=\sum_{k=0}^ {N} a_k(y) x^k,

$$ où les $a_k(y)$ dénotent les coefficients de $x\mapsto P(x,y)$ et $y\in E$. Ensuite on choisit $x_0,x_1,\ldots,x_{N+1}$ des réels distincts deux à deux et on note $V$ la matrice de Vandermonde correspondante qui est inversible. Pour $y$ dans $E$ on note $A(y)$ le vecteur des colonnes des coefficients de $x\mapsto P(x,y)$. On a alors l'équation matricielle $V A (y)= \big( P(x_1,y),\ldots, P(x_{N+1},y)\big)$ et en inversant on a aussi
$$
A(y)=V^{-1} \big( P(x_1,y),\ldots, P(x_{N+1},y)\big).

$$ Les éléments de $A$ correspondent donc à des fonctions polynomiales car par hypothèse pour tout $x$ on a aussi $y\mapsto P(x,y)$ qui est un polynôme. Ensuite on remonte, on a montré que $P(x,y)= \sum_{k=0}^N a_k(y) x^k$ sur $I\times E$ qui est une identité polynomiale. Si $y$ n'est pas dans $E$ et que $x$ est fixé, l'identité s'étend car $E$ est infini.

Un exercice plus adapté à Baire serait le suivant.
Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ telle que pour tout $x$ il existe $N_x$ avec $f^{N_x}(x)=0$ alors $f$ est un polynôme.

Si tu as un corrigé qui utilise Baire un jour je suis preneur. Merci !

J'avais pensé à ces fermés vu qu'on ne peut pas faire grand chose d'autre mais je ne savais pas où ça mènerait d'en avoir un d'intérieur non vide, ni même comment vérifier que ce sont effectivement des fermés.
Merci en tous cas !

Edit : l'énoncé semble supposer qu'il faut appliquer Baire sur l'espace des fonctions continues sur le segment. Je pense que l'auteur avait une autre idée en tête.

On peut remarquer que l'hypothèse entraine qu'en tout point de $\R^2$ il existe un entier $n$ tel que la différentielle $n$-ième $D^nP$ est nulle en ce point. Et c'est une conséquence classique de Baire (pas totalement évidente) que ceci implique que $P$ est polynomiale.