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Calculs de sommes exponentielles

Envoyé par AlphaNico 
Calculs de sommes exponentielles
13 septembre 2021, 22:09
Bonjour à tous
Je cherche à trouver une expression simple des sommes suivantes :
$$ S_{n} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^{n}}{k!}.

$$ J'y arrive facilement pour les petites valeurs de $n$ et je conjecture que $S_{n}=k_{n}e$ où $k_{n}$ est un entier naturel, mais je ne parviens pas à calculer $k_{n}$.
Pensez-vous qu'il existe une relation simple sur cet entier ? Ou bien est-ce inespéré de vouloir en
obtenir une expression... En tous cas, l'utilisation de Maple ou de Python ne me donne pas d'idées !
Merci par avance à ceux qui pourront m'aider.
Bonne soirée,
$\alpha$-Nico



Modifié 2 fois. Dernière modification le 13/09/2021 22:49 par AD.
Re: Calculs de sommes exponentielles
13 septembre 2021, 22:17
On a $S_n = e^n$ pour tout entier $n$. De manière générale, pour tout nombre complexe $z$ on a $e^z = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{z^k}{k!}$.
Re: Calculs de sommes exponentielles
13 septembre 2021, 22:30
En particulier ton $k_n$ vaut $e^{n-1}$ et n'est entier que lorsque $n=1$.
Re: Calculs de sommes exponentielles
13 septembre 2021, 22:42
Désolé Poirot, je m'étais trompé dans l'énoncé de ma question ! Je viens de corriger...
Re: Calculs de sommes exponentielles
13 septembre 2021, 22:56
Il faut exprimer $X^n$ comme combinaison linéaire de $\bigl(X,X(X-1),X(X-1)(X-2),\dots\bigr)$ et simplifier comme on peut.
Re: Calculs de sommes exponentielles
13 septembre 2021, 23:29
avatar
En m'intéressant aux nombres de relations d'équivalence sur un ensemble j'ai vu une formule (dite formule de Dobinski) qui parle de nombres de Bell.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/09/2021 23:30 par Boécien.
Re: Calculs de sommes exponentielles
14 septembre 2021, 14:13
avatar
Bonjour,

Les sommes $\displaystyle S_n = \sum_{k \geq 0} {k^n \over k!}$ pour tout $n$ entier me semble avoir une expression simple.

A vérifier.

On calcule à la main $S_0, S_1, S_2.$

Puis on calcule $S_{n+1}$, on simplifie par $k$ numérateur et dénominateur (l'indice commence alors à $1$), puis on effectue un changement d'indice $k-1 \leadsto k$ pour ramener le dénominateur à $k!$, il suffit du binôme de Newton pour développer le numérateur $(k+1)^n.$

On a donc exprimé $S_{n+1}$ selon tous les $S_p$ pour $p=0, 1, ..., n.$

Voilà !

On trouve : $\displaystyle S_{n+1} = \sum_{p=0}^n C_n^p S_p$ et donc $S_n = a_n e$ avec $a_0=1$ et $\displaystyle a_{n+1} = \sum_{p=0}^n C_n^p a_p.$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 14/09/2021 15:03 par YvesM.
Re: Calculs de sommes exponentielles
15 septembre 2021, 14:19
Merci YvesM pour ta réponse très claire !

$\alpha$-Nico
Re: Calculs de sommes exponentielles
16 septembre 2021, 09:43
avatar
Les polynômes sous-jacents sont les polynômes de Touchard (Jacques) ou de Bell ou exponentiels.

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