Continuité à gauche pour fonction croissante

Quite à extraire, tu peux supposer ta suite croissante. Et le sup d'une suite croissante étant sa limite on tombe sur la caractérisation séquentielle.

Premièrement, j'ai dit "quite à extraire".
Vu qu'on travaille avec une suite croissante c'est bien la continuité à gauche qu'on caractérise.

Je n'ai effectivement pas précisé le cas qui me semblait évident du sup atteint dans la suite.

Reprends du début. Il y a toutes les idées dans ce fil, mais ça a été un peu mal formulé, je trouve.

Tu connais la caractérisation séquentielle de la continuité : $f$ est continue en $a$ si pour toute suite $(a_n)_n$ de limite $a$, $(f(a_n))_n$ tend vers $f(a)$. En particulier, ici, on n'impose rien sur la variation de la suite $(a_n)_n$, comme ça on peut approcher $a$ en abscisse des deux côtés et garantir la continuité en $a$ des deux côtés.

Toi, ici, ce n'est que d'un côté que ça t'intéresse. Pour la continuité à gauche, par exemple, tu veux que si $(a_n)_n$ tend vers $a$ "par la gauche" (sur l'axe des abscisses du graphe de $f$), alors $(f(a_n))_n$ tend vers $f(a)$ en ordonnée. Fais un dessin, ça se voit tout de suite. Bon, donc, si $(a_n)_n$ doit tendre vers $a$ "par la gauche" sur l'axe des abscisses, c'est que $(a_n)_n$ doit être une suite croissante ! Et une suite croissante qui converge, elle converge vers sa borne sup, d'où ta caractérisation.

Pour la droite, évidemment, c'est pareil mais dans l'autre sens : la suite est prise décroissante pour approcher $a$ par la droite, donc sa limite est sa borne inf.