Polynôme de Lagrange
Réponses
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J'adore la façon de rédiger de OShine. Il écrit : Montrons que $\mathcal S=v+ \ker (f)$
Après cet usage de l'impératif on s'attend à voir venir quelque chose de concret mais on obtient : Je n'ai réussi à montrer aucune inclusion.
Mais il commence quand même par l'impératif Montrons... comme pour vouloir dire : "voyez j'ai commencé à essayer de résoudre l'exo, on ne pourra pas dire que je n'ai rien fait !". B-)-
Peut-être qu'avec la rédaction de bd2017 ci-dessus tu comprendras...
bd2017 je t'exempte de chanter les louanges de Pablo car même chantées par un autre je ne le supporterai pas. :-D -
M.D.R
P.S ceci étant dit la notation $S=v+\ker f $ ne me choque pas, elle est employée pour un espace affine. -
@Raoul.S
En effet, la démonstration est élémentaire.
Soit $f \in \mathcal L(E,F)$ et $x \in F$. Si l'ensemble $\mathcal S$ des solutions de l'équation $f(v)=x$ est non vide, alors c'est un sous-espace affine de direction $\ker f$.
Démonstration :
Supposons que $\mathcal S$ soit non vide. Soit $w$ une solution de l'équation $f(v)=x$. Alors $f(w)=x$
Soit $w \in E$. L'élément $w$ appartient à $S$ si et seulement si $f(w)=x$. Cela équivaut à $f(v)=f(w)$ c'est-à-dire par linéarité $f(w-v)=0$
Ainsi $w \in S \Leftrightarrow w-v \in \ker f$
On a donc $\boxed{S=v+ \ker f}$
Par contre je n'ai pas compris ici qui est $f$, $x$ et $v$. -
On est toujours sur cette question ? Ce truc qu'un lycéen sait faire en 2 minutes ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Un lycéen ne connait pas les sous-espaces affines.
$x=(a,b,c)$. Je ne trouve pas $v$ et $f$. -
$f:\R[X]\to \R^3$ est l'application linéaire définie par $f(P):=(P(-1), P'(-1), P(1))$ pour tout polynôme $P$.
$v$ est la solution particulière que tu as trouvée en bas de ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2300474,2301112#msg-2301112. Donc avec tes notations, $v$ est égal à $p$ et tu vois qu'on a bien $f(p)=x$.
Donc l'ensemble des solutions est donné par $p+\ker{f}$. Une fois $\ker {f}$ déterminé, on disposera donc de l'ensemble des solutions. -
(tu)
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Un lyéen n'a pas besoin de sous-espace affine pour trouver les polynômes qui vérifient f(-1)=f'(-1)=f(1)=0 .
Et il ne se trompe pas dans les signes, lui.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Quelle est la technique enseignée au lycée ?
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Oui c'est (X+1)^2 (X-1) Q(X)
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Bon @Oshine arrête.
Le lycéen, quand tu lui donnes l'équation $3 u + 5 v =1$ dans $Z \times \Z.$
s'il est doué, il va trouver comment faire tout seul en cherchant un peu, s'il est normal et s'il a vu une fois la technique , il va savoir le faire.
Même si on ne lui a pas appris ce qu'est un espace affine. -
Déterminer les polynômes de degré 2 (au plus) qui passent par 2 points, tu ne sais pas faire?
Pour quelqu'un qui s'attaque à des sujets de BAC+1 à E.N.S, c'est hilarant. -
Je ne vois pas.
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En gros, tu assumes enseigner les mathématiques mais tu ne sais pas :
- Trouver les solutions d'un système a 2 équations et 3 inconnues.
Ou alors
- Trouver les paraboles qui passent par 2 points du plan
Franchement tu te moques du monde...
Ou au moins juste te douter qu'il y a une infinité de solutions ? Car on t'a juste demandé combien, même pas de détailler les solutions. C'est une question qu'un élève de 2nde pourrait poser à son professeur, et tu veux donner des colles en prépa ?
Oui, j'ai honte pour l'education nationale là... -
On pose $P(X)=aX+b$ et $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$ avec $x_1 \ne x_2$.
On résout un système :
$ax_1+b=y_1$ (L1)
$ax_2+b=y_2$ (L2)
(L1)-(L2) donne $a (x_1-x_2)=y_1-y_2$ donc $a=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
Puis $b=y_1-\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} x_1$
Il existe un unique polynôme de degré $1$ qui passe par 2 points. -
Et qu'est-ce qui t'empêche d'essayer de faire la même chose pour le degré 2 ?
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$P(X)=aX^2+bX+c$ avec $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$.
On a le système d'équation à trois inconnues $a,b,c$ et deux équations. On va donc fixer une variable.
$\begin{cases}
ax_1 ^2 +b x_1 +c=y_1 \\
ax_2 ^2 +b x_2 +c=y_2
\end{cases}$
On en déduit $a(x_1 ^2-x_2 ^2)+b(x_1-x_2)=y_1-y_2$
On fixe $b$ et on a $a=\dfrac{y_1-y_2}{x_1 ^2-x_2 ^2}- \dfrac{b}{x_1-x_2}$ où $b$ parcourt $\R$.
On en déduit $c=y_1-\left( \dfrac{y_1-y_2}{x_1 ^2-x_2 ^2}- \dfrac{b}{x_1-x_2} \right) x_1 ^2 -b x_1$
Ainsi, $(a,b,c)=(\dfrac{y_1-y_2}{x_1 ^2-x_2 ^2}- \dfrac{b}{x_1-x_2} , b, y_1-\left( \dfrac{y_1-y_2}{x_1 ^2-x_2 ^2}- \dfrac{b}{x_1-x_2} \right) x_1 ^2 -b x_1)$ où $b$ parcourt $\R$.
Il y a donc une infinité de solutions. -
(tu) (modulo une petite erreur de calcul, mais c'est le principe qui compte)
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Ça me paraît pas si compliqué pour quelqu'un qui a eu son CAPES... je te rappelle qu'avec le CAPES, tu peux enseigner en terminale, en BTS...
PS : il reste toujours ton erreur de calcul de niveau 3ème à corriger... -
Ok il y a une infinité de polynômes de degré 2 qui passent par deux points du plan. Que se passe t-il pour trois point? C'est un classique de lycée... Que se passe t-il si tu fixes une condition sur la dérivée en l'un des points?
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Pour trois points il y a soit une unique solution, soit aucune.
Pour lé dérivée je ne sais pas. -
Tu ne sais pas. Ok.
Et si tu réfléchis pendant 15 secondes, tu n'as toujours rien à proposer ?
Au delà de 15 secondes, ça ne sert à rien de réfléchir plus longtemps, demande la réponse.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Je vois mal comment avec trois points pourquoi on va avoir un unique polynôme de de degré 2 solutions.
D'un point de vue géométrique si les 3 points sont alignés comment on fait passer une parabole? -
Quand on parle des polynômes de degré n, on y inclut généralement les polynômes de degré p, avec p<n.
C'est ce qui permet de parler d'espace vectoriel des polynômes de degré n, en particulier.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bd2017 t'as mal lu ma réponse j'ai dit "soit une unique solution, soit aucune".
Je ne vois toujours pas pour la condition sur la dérivée. -
@OShine en reprenant ton message ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2300474,2301848#msg-2301848 tu ne vois vraiment pas comment ajouter une condition sur la dérivée ? 8-)
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Il faut revoir ses techniques de base d'algèbre linéaire monsieur soleil !
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Tu as dit 'Soit une solution, soit aucune' ...mais en fait la réponse est ' exactement une solution'.
Si on nous donne 3 points, (3 points d'abscisse différentes bien sur !), il y a exactement un polynome de degré 2 qui passe par ces 3 points.
Ce polynome est éventuellement 'dégradé', c'est à dire que la parabole est éventuellement une droite (polynome de degré 1), voire une droite horizontale (polynome de degré 0).
Pour la question de la dérivée, prenons un peu de recul... les yeux à plus de 30 centimètres de la copie.
Quand on donne k points, on donne k informations, et donc k équations.
Quand on donne k dérivées, on donne aussi k informations, et donc k équations.
2 points et une dérivée, c'est 3 informations, donc 3 équations ... Point final ou quasiment.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Oshine.
La seule manière d'avoir un système d'équations modélisant un polynôme passant par trois points et qui n'a pas de solution est que les trois points en questions soient confondus.
Tu admettras sans difficulté que si on ne te donnes qu'un seul et unique point par lequel faire passer une parabole, tu ne vas pas commencer à construire un système d'équations.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Dreamer je ne vois pas pourquoi ce système a toujours une solution sauf si les 3 points sont confondus.
Comment sais-tu ça ? -
Trouve-moi l'éventuelle unique parabole passant par un seul point.
Je risque d'attendre longtemps.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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OShine a écrit:Pourquoi tu dis qu'il y a toujours une solution pour un polynôme de degré 2 qui passe par 3 points ?
Tiens OShine je te propose un exo vraiment élémentaire qui répond à la question. Il n'est pas calculatoire car je ne suis pas fan des calculs... sens-toi libre de le résoudre ou pas.
Soit un entier $n\geq 0$ et $(x_1,y_1),...,(x_{n+1},y_{n+1})$ $n+1$ points de $\R^2$ avec $x_i\neq x_j$ pour tout $i\neq j$.
On considère l'application $f:\R_{n}[X]\to \R^{n+1}$ définie par $\forall P\in \R_{n}[X], f(P):=(P(x_1),...,P(x_{n+1}))$.
1) Montrer que $f$ est linéaire
2) Montrer que $\ker f=\{0\}$
3) En déduire que $f$ est bijective
4) En déduire qu'il existe un unique polynôme de degré au plus $n$ passant par les $n+1$ points $(x_1,y_1),...,(x_{n+1},y_{n+1})$. -
polynôme de degré 2 et polynôme de degré au plus 2 c'est pas la même chose.
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On peut en débattre ... mais c'est accessoire. L'important, c'est que OShine comprenne ce qu'il fait.
Si il dit qu'il cherche des polynomes de degré exactement 2, alors ok pour dire que les points alignés ne conviennent pas.
Ici, on a 2 situations claires :
En prenant ma définition, n'importe quel triplet de points donne une parabole (éventuellement une parabole dégénérée en droite)
En prenant ta définition, n'importe quel triplet de points donne une parabole, sauf les triplets de points alignés.
Et ces 2 résultats sont aisés à démontrer.
Sauf pour Oshine.
La technique du déterminant pour résoudre un système à 3 équations / 3 inconnues, c'est toujours au programme du lycée, ou pas ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Je ne crois pas, mais je sais résoudre un système de Cramer en utilisant le déterminant.
@Raoul.S
Merci pour l'exercice.
1) Soient $(P,Q) \in \R_n [X] ^2$. On a $f(aP+bQ)=( (aP+bQ)(x_1), \cdots, (aP+bQ)(x_{n+1}))=(aP(x_1)+bQ(x_1), \cdots, aP(x_n+{n+1})+bQ(x_{n+1}))$
Enfin, $f(aP+bQ)=a(P(x_1), \cdots, P(x_n))+b(Q(x_1), \cdots, Q(x_{n+1}))$
2) Si $P \in ker f$ alors $P$ s'annule en $n+1$ points et il est de degré inférieur ou égal à $n$ donc $P=0$. Ainsi $\ker f=\{0 \}$
3) $f$ est injective donc bijective car $\R_n[X]$ est un espace vectoriel de dimension finie. On a équivalence entre bijectif, injectif et surjectif;
4) $f$ est bijective donc surjective. Ainsi, pour tout $y=(y_1, \cdots, y_{n+1}) \in \R^{n+1}$, il existe un unique polynôme $P$ de $\R_n[X]$ tel que $f(P)=y$, ce qui répond à la question. -
OShine a écrit:Quelle est la technique enseignée au lycée ?
Un système d’équations linéaires éventuellement interprété dans le langage matriciel.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Tu sais résoudre un système de Cramer, quel que soit son degré.
Bien, bravo, tu es très brillant.
Mais, ici, on te demande de résoudre un système de Cramer avec 3 équations, 3 inconnues, et tu sèches.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Oui, ça je sais ... merci.
Visiblement, tu n'as pas vu où il y avait un tel système dans cet exercice. Ce n'est pas grave. Ca ne devrait pas t'empêcher de donner cours en 6ème.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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