Nature de deux intégrales

Si l'intégrale du 1) était convergente on en déduirait $e\leq 2$.

Mais pour celle du 2) la condition $e\leq3$ n'est pas une contradiction.

Pour la première intégrale, on peut procéder ainsi.

Soit $\lambda\gg1.$ Pour $n\gg1,$ si $\displaystyle 1-\frac{1}{\lambda 2^{n}}\leq x\leq 1-\frac{1}{\lambda 2^{n+1}}$ alors :
\begin{align*}
\sum\limits_{k\geq 0}x^{2^k} & \geq \sum\limits_{k=0}^{n}\Big(1-\frac{1}{\lambda 2^{n}}\Big)^{2^k}\\
& \geq n\Big(1-\frac{1}{\lambda 2^{n}}\Big)^{2^{n}}\\
& \geq (1-\varepsilon)n \mbox{ car } \Big(1-\frac{1}{\lambda 2^{n}}\Big)^{2^{n}}\sim e^{-\frac{1}{\lambda}}.\\
\end{align*} D'où
\begin{align*}
I_{1} & :=\int_{0}^{1}\exp\Big(\sum\limits_{k\geq 0}x^{2^{k}}\Big)dx\\
& \geq \sum_{n\geq 0}\int_{1-\tfrac{1}{\lambda 2^{n}}}^{1-\tfrac{1}{\lambda 2^{n+1}}}\exp\Big(\sum\limits_{k\geq 0}x^{2^{k}}\Big)dx\\
& \gtrsim \sum_{n\geq 1} \frac{\exp\big((1-\varepsilon)n\big)}{2^{n}}=+\infty.

\end{align*} Pour la deuxième intégrale, on procède de la même manière que précédemment (à une comparaison série-intégrale près pour la queue de la série... je ne vais pas écrire les détails !) pour obtenir que $\displaystyle I_{2}:=\int_{0}^{1}\exp\Big(\sum\limits_{k\geq 0}x^{3^{k}}\Big)dx$ est convergente.

On peut montrer que l'on a au voisinage de $1^{-}$ (en $x$) : $$\sum\limits_{k\geq 0}x^{2^k}\sim \frac{-\ln(1-x)}{\ln(2)} \mbox{ et } \sum\limits_{k\geq 0}x^{3^k}\sim \frac{-\ln(1-x)}{\ln(3)}.
$$ Ces équivalents permettent également de conclure facilement.

Non car ln(2) est strictement plus petit que 1 et ln(3) est strictement plus grand que 1 (bien penser à utiliser le critère de l’oncle Ben’s : riz-man :0).