Calcul intégral

Je ne comprends pourquoi ils notent cet exercice comme facile, je le trouve plus compliqué que l'autre qui était noté très difficile.

Posons $y= \tan(\dfrac{t}{2})$ pour $t \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$ et $f(x)=\dfrac{1}{1+ \cos ( \theta) \cos (t)}$

On a $\cos (t)=\dfrac{1-y^2}{1+y^2}$

Comme $t/2 \in [0, \pi/4]$, on a $\arctan y= \arctan \tan (t/2)=t/2$ donc $\boxed{t=2 \arctan y = \varphi(y)}$

L'application $\varphi : y \mapsto 2 \arctan y$ est une bijection de classe $C^1$ de $[0,1]$ dans $[0,\pi/2]$.

Or $\varphi^{-1} (0)=0$ et $\varphi^{-1} (\pi /2)=1$

On a $f \circ \varphi (y)= \dfrac{1}{1+ \cos ( \theta) \dfrac{1-y^2}{1+y^2}}$ et $\varphi '(y)=2 \dfrac{1}{1+y^2}$

Ainsi, $I(\theta)=\displaystyle\int_{0}^1 f \circ \varphi (y) \varphi '(y) dy=\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos ( \theta) \dfrac{1-y^2}{1+y^2}} \times 2 \dfrac{1}{1+y^2}$

D'où $I(\theta)= 2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+\cos(\theta)+y^2 (1-\cos (\theta)} dy$

Soit $I(\theta)=\dfrac{2}{1+\cos(\theta)} \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} y^2} dy$

J'ai l'impression que c'est trop compliqué :-S

Si on pose $x= \cos (t)$ on a $dx = - \sin (t) dt$

Donc $I=\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos(\theta)x} \dfrac{dx}{\sin( t)}$

Je bloque aussi.

Ok merci je reprends. Je retrouve le même résultat que Yves. Je ne comprends pas comment on peut noter cet exercice une étoile de difficulté sur 5, alors qu'il est très technique et très calculatoire.

Posons $x=\tan(\dfrac{t}{2})$. Alors $t=2 \arctan(x)$ et $dt= \dfrac{2}{1+x^2} dx$

On utilise la formule $\cos(t)=\dfrac{1-\tan^2(t/2)}{1+\tan^2(t/2)}$

Ainsi $I(\theta)=2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos(\theta)\frac{1-x^2}{1+x^2}} \dfrac{1}{1+x^2} dx$

Donc $$I(\theta)=2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+x^2 +\cos(\theta) (1-x^2) } dx \\ = 2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{(1-\cos(\theta) ) x^2 +1+\cos(\theta)} dx \\ =\dfrac{2}{1- \cos(\theta)} \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{x^2+ \dfrac{1+ \cos (\theta)}{1- \cos(\theta)} } dx$$

Une primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x^2 +a^2}$ est la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{a} \arctan(\dfrac{x}{a})$. Ce qui donne :

$I(\theta)=\dfrac{2}{1- \cos(\theta)} \sqrt{ \dfrac{1- \cos(\theta)}{1+ \cos(\theta)} } \arctan \left( \sqrt{ \dfrac{1- \cos(\theta)}{1+ \cos(\theta)} } \right)$

D'où $I(\theta)=\dfrac{2}{ \sqrt{ (1- \cos(\theta))(1+ \cos(\theta) )} } \arctan \left( \sqrt{ \dfrac{1- \cos(\theta)}{1+ \cos(\theta)} } \right)$

Mais $\cos(2 a)= 2 \cos^2(a)- 1 = 1- 2 \sin^2(a)$

Ainsi, $I(\theta)=\dfrac{2}{ \sin(\theta)} \arctan ( \tan (\theta /2 ))$

Finalement $\boxed{I(\theta)=\dfrac{ \theta}{ \sin( \theta)}}$

Ok j'essaierai de me souvenir de ce changement de variable.