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Calcul de $\tan 16 x$

Envoyé par Fibonacci 
Calcul de $\tan 16 x$
22 septembre 2021, 23:57
Bonjour sachant que $ \tan x = 2 $ calculer $ \tan 16x$. Moi, au moyen d'une formule que j'ai trouvée, j'obtiens $ \frac{-354144}{164833} $, puis-je savoir comment vous procéderiez ?
Bien sûr si quelqu'un le demande je posterai ma formule (qui est un peu longue).
a+
Fibonacci



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2021 03:49 par AD.
Re: tan 16 x
23 septembre 2021, 00:53
Je calculerais tan(2x) puis tan(4x) puis tan(8x) puis tan(16x)
Re: tan 16 x
23 septembre 2021, 01:27
Bonjour
Je passerais à l'exponentielle.

$\sin(x)=2 \cos(x)$ donne $z=\exp(i x)=\pm \frac{1+2 i}{\sqrt{5}}$.

Puis $\tan(16x)=- i(z^{16} -1/z^{16})/(z^{16}+1/z^{16})$.

Il reste à calculer $z^2, z^4,z^8, z^{16} $ (en élevant au carré à chaque fois).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2021 03:52 par AD.
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 07:43
regarde la réponse d’ achille hui qui donne tan(nx) avec tan(x)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2021 07:44 par etanche.
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 07:58
avatar
Le résultat est ok :
sage: f = lambda x : 2*x / (1-x^2)                                              
sage: x = 2                                                                    
sage: for k in range(4): 
....:     x = f(x)                                                                     
sage: x
-354144/164833
Ps / C'est la démarche de JLapin



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2021 07:59 par flipflop.
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 09:43
Bonjour, je joins la formule que j'ai trouvée. Je m'excuse si je ne l'écris pas en Latex mais cela me prendrait trop de temps (je dois pratiquer cette belle façon d'écrire des formules).
Bien que la formule soit de peu d'utilité, j'ai été heureux de voir qu'elle était juste.
Merci à tous pour votre aimable coopération..
a+
Fibonacci


Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 11:06
Si tu aimes bien les formules alors

$tan( 16 x)= -\dfrac{16 t \left(-1+35 t^2-273 t^4+715 t^6-715 t^8+273 t^{10}-35 t^{12}+t^{14}\right)}{1-120 t^2+1820 t^4-8008 t^6+12870 t^8-8008 t^{10}+1820 t^{12}-120 t^{14}+t^{16}}$

avec $t=tan(x)=2. $

Sauf qu'il est préférable de savoir d'où elles viennent et ne pas dire qu'elle ne sont pas utiles (car elles servent toujours à un moment où un autre).
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 11:24
On peut factoriser : \[\tan 16x=-\frac{16 \, {\left(t^{4} + 4 \, t^{3} - 6 \, t^{2} - 4 \, t + 1\right)} {\left(t^{4} - 4 \, t^{3} - 6 \, t^{2} + 4 \, t + 1\right)} {\left(t^{2} + 2 \, t - 1\right)} {\left(t^{2} - 2 \, t - 1\right)} {\left(t + 1\right)} {\left(t - 1\right)} t}{{\left(t^{8} + 8 \, t^{7} - 28 \, t^{6} - 56 \, t^{5} + 70 \, t^{4} + 56 \, t^{3} - 28 \, t^{2} - 8 \, t + 1\right)} {\left(t^{8} - 8 \, t^{7} - 28 \, t^{6} + 56 \, t^{5} + 70 \, t^{4} - 56 \, t^{3} - 28 \, t^{2} + 8 \, t + 1\right)}}.\]
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 11:28
Bonjour,

Sauf que c'est plus long à écrire, donc plus compliqué, et chez moi, ça ne rentre pas dans la ligne, une partie n'est pas visible.

Cordialement,

Rescassol
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 11:49
Oui, un intérêt c'est de faire apparaître des facteurs simples comme $t$, $t\pm1$, $t^2\pm2t-1$ ou d'expliciter le polynôme minimal de $\tan\frac{\pi}{16}=-\sqrt{2} + \sqrt{2 \, \sqrt{2} + 4} - 1$, et de stimuler la réflexion pour l'interprétation des facteurs du dénominateurs.
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 20:26
avatar
Fibonacci : Je ne peux pas vérifier ta seconde formule, je ne peux pas faire de factorisation partielle et pas envie de recopier ta formule.
sage: k.<a,b> = ZZ[]                                                            
sage: x0 = a/b                                                                  
sage: sage: for k in range(4):  
....: ....:     x0 = f(x0)  
....: ....:           
....:                                                                           
sage: x0                                                                        
(-16*a^15*b + 560*a^13*b^3 - 4368*a^11*b^5 + 11440*a^9*b^7 - 11440*a^7*b^9 + 4368*a^5*b^11 - 560*a^3*b^13 + 16*a*b^15)/(a^16 - 120*a^14*b^2 + 1820*a^12*b^4 - 8008*a^10*b^6 + 12870*a^8*b^8 - 8008*a^6*b^10 + 1820*a^4*b^12 - 120*a^2*b^14 + b^16)
sage: factor(x0)                                                                
(-1) * 2^4 b  a  (a - b)  (a + b)  (a^2 - 2ab - b^2)  (a^2 + 2ab - b^2) (a^4 - 4a^3b - 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4) (a^4 + 4a^3*b - 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4) (a^8 - 8*a^7*b - 28*a^6*b^2 + 56*a^5*b^3 + 70*a^4*b^4 - 56*a^3*b^5 - 28*a^2*b^6 + 8ab^7 + b^8) (a^8 + 8*a^7*b - 28*a^6*b^2 - 56*a^5*b^3 + 70*a^4*b^4 + 56*a^3*b^5 - 28*a^2*b^6 - 8*a*b^7 + b^8)^-1
$$
\frac{-16 a^{15} b + 560 a^{13} b^{3} - 4368 a^{11} b^{5} + 11440 a^{9} b^{7} - 11440 a^{7} b^{9} + 4368 a^{5} b^{11} - 560 a^{3} b^{13} + 16 a b^{15}}{a^{16} - 120 a^{14} b^{2} + 1820 a^{12} b^{4} - 8008 a^{10} b^{6} + 12870 a^{8} b^{8} - 8008 a^{6} b^{10} + 1820 a^{4} b^{12} - 120 a^{2} b^{14} + b^{16}}
$$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2021 20:27 par flipflop.
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 20:30
avatar
C’est quoi, f ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 20:44
avatar
Pour $f$, pareil que mon message au dessus i.e $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 21:08
avatar
Voilà comment je ferais:

L=lindep([tan(16*atan(2)),1]);
print(-L[2]/L[1]);
-354144/164833

Pour tester.

PS:
Explication: la fonction lindep cherche deux entiers $a$ et $b$ tels que $a\tan\left(16\arctan(2)\right)+b$ soit le plus proche possible de $0$. La nature de la constante $\tan\left(16\arctan(2)\right)$ n'a aucune importance dans le processus puisque c'est une approximation décimale qui est considérée.

PS2:
fonction très utile quand on cherche le polynôme minimal d'un nombre algébrique.

? a=sqrt(2)+sqrt(3);
print(lindep([1,a,a^2]));
print(lindep([1,a,a^2,a^3]));
print(lindep([1,a,a^2,a^3,a^4]));
[-22727462, -7258901, 4603089]~
[103026, 336374, 360541, -151882]~
[1, 0, -10, 0, 1]~

On aurait pu utiliser plus simplement la fonction algdep: algdep(a,4);

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Modifié 2 fois. Dernière modification le 23/09/2021 21:22 par Fin de partie.
Re: Calcul de $\tan 16 x$
23 septembre 2021, 21:27
On peut ajouter une question intermédiaire pour trouver la réponse : exprimer $\tan(nx)$ en fonction de $\tan(x)$

Spoiler (sélectionnez les lignes en dessous pour faire apparaître la formule) :

$\tan(nx)=\dfrac{Im(1+i\tan(x))^n}{Re(1+i\tan(x))^n}$

P.S. hors sujet : est-ce qu'il y a une vraie balise spoiler plutôt que l'astuce du texte en blanc ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2021 22:03 par AD.
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