La limite et la norme
Salut.
Soit $H$ un Hilbert.
$\limsup\limits_{\mid\lambda\mid\to\infty}\|\ \left(i\lambda I-A\right)^{-1}\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty \implies
\|\left(i\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H}\ $ ou $\ \|\left(i\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}\ $ ?
$C$ est une constante.
Soit $H$ un Hilbert.
$\limsup\limits_{\mid\lambda\mid\to\infty}\|\ \left(i\lambda I-A\right)^{-1}\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty \implies
\|\left(i\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H}\ $ ou $\ \|\left(i\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}\ $ ?
$C$ est une constante.
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Réponses
Le problème de ton "ou" est que tu mélanges du français et des mathématiques, moi je lis ce qui est écrit, c'est-à-dire $P \Rightarrow (Q \ {\rm ou}\ R)$, alors que tu demandes probablement si $P \Rightarrow Q$ ou $P \Rightarrow R$ est vraie
En plus, il faudrait également une quantification sur $\lambda$ qui n'apparaît que réellement à droite (c'est une lettre muette à gauche).
Maintenant, avec une forte imagination corrective, j'ai du mal à entrevoir comment on pourrait imaginer le second cas.
$\limsup\limits_{\lambda\to\infty}\|\ \left(\lambda I-A\right)^{-1}\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty \implies \forall u \in H,\
\|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H},\ \lambda >0$
ou
$\limsup\limits_{\lambda\to\infty}\|\ \left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty\implies \forall u \in H ,\ \|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}$
$ \lambda >0$
\|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H}\ \lambda >0$$ et $$\forall u \in H \|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}$$ est vraie.
Maintenant on a un autre problème, c'est que c'est affreusement quantifié en $\lambda$ donc ça ne veut essentiellement rien dire en l'état.
Je n'ai pas écrit $i$ avant.
L'expression en haut n'est pas toujours vérifiée.