Développement décimal

pourtos
pourtos
dans Analyse
Bonsoir à tous
Svp comment peut-on montrer que le premier chiffre après la virgule de $\sqrt{n^2+n}$ est $4$, pour tout entier naturel non nul.
Et merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    On a $\sqrt{n^2+n} = n \sqrt{1+\frac{1}{n}} = n\left(1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + \frac{\theta}{6n^3}\right)$ avec $\theta \in \left]\frac{3}{64 \sqrt 2}, \frac38\right[$. Je te laisse conclure.
  • pourtos
    pourtos
    Merci beaucoup Monsieur.
    Je crois qu'il me fallait encadrer la somme $\frac{1}{2}-\frac{1}{8n}+\frac{\theta}{6n^2}$ par $\frac{4}{10}$ et $\frac{5}{10}$. N'est pas ?
  • jandri
    jandri
    Une démonstration niveau seconde :
    utiliser les expressions conjuguées pour obtenir les signes de $\sqrt{n^2+n}-(n+4/10)$ et $\sqrt{n^2+n}-(n+5/10)$.
  • Namiswan
    Namiswan
    J'essaierais de prouver que $(n+0.4)^2\leq n^2+n < (n+0.5)^2$

    edit: croisé avec Jandri, c'est presque la même méthode
  • Poirot
    Poirot
    @pourtos : D'ailleurs je me suis emballé, pas besoin de pousser à l'ordre $3$, l'ordre $2$ devrait suffire, ce qui compte c'est le signe négatif devant le $\frac{\theta}{8n}$. Les autres méthodes proposées sont plus élémentaires.
  • Boécien
    Boécien
    Variante, on considère la suite $u_{n}$ donnée par $u_{n}=\sqrt{n^{2}+n}-n$ qu'on réécrit
    $$
    u_{n}=\frac{1}{1+\sqrt{1+1/n}}.

    $$ On voit donc facilement que
    1) $u_{n}$ est strictement croissante
    2) $u_{n}<\frac{1}{2}$
    Je conclus que pour tout $n\geq1$ on a $u_{1}=\sqrt{2}-1=0.4\ldots<u_{n}<0.5$ donc $u_{n}$ commence par $0.4$ et comme $n$ est entier on répond à la question.
  • pourtos
    pourtos
    Merci beaucoup pour Vous tous :-)
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