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analyse complexe

Envoyé par ryo 
ryo
analyse complexe
il y a treize années
<latex> Bonjour a tous, j'ai un probleme avec une question d'un exo sur les automorphismes du plan unite

Soit $D$ le disque unite ouvert pour tout $z,w \in D$ on pose
$d(w,z)=\frac{|z-w|}{|\bar{w}z-1|}$

Soit f holomorphe de $D$ dans $D$

Montrer que pour tout $w,z \in D$, $d(f(w),f(z)) \leq d(w,z)$


J'ai voulu utiliser le theoreme de Schwartz (il me manque la
condition f(0)=0 mais ca doit pouvoir se regler) donc j'ai $|f(z)|
\leq |z|$ mais apres je n'arrive pas a l'utiliser


J'ai aussi un souci de vocabulaire sur un autre exo : soit $P$ un
polynome non constant. Montrer que chaque composante de $ \{z |
|P(z)| < c \} $ contient un zero de $P$

Je ne comprend pas ce qu'est une "composante" de cet ensemble. Si
quelqu'un pouvait m'eclairer
ryo
Re: analyse complexe
il y a treize années
ca ne vous tente pas mon exo? Je veux bien que ce se soit pas super engageant mais j'aimerais bien savoir si le theoreme de Schwartz permet de faire quelque chose ou pas et aussi si on pouvait me dire ce qu'est une "composante" de l'ensemble que j'ai donne
togbenou
Re: analyse complexe
il y a douze années
Je veux avoir le théorème de Schwartz
RRt
Re: analyse complexe
il y a douze années
Bonjour,

je pense que les "composantes" dont on parle dans le second exercice sont simlement les composantes connexes.

RRt
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> Question sans doute naïve: si $f$ est holomorphe de $D$ dans $D$, réalise-t'elle une bijection ?

Sylvain
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
Sûrement pas si elle est constante .

Domi
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> Et si elle n'est pas constante (j'ai la faiblesse de considérer qu'une fonction constante mérite plus l'appellation de &quotnombre" que de &quotfonction" car si elle est constante, elle n'est fonction de rien du tout ! winking smiley) ? $f$ est bornée, définie et à valeurs sur un compact privé de sa frontière, alors admet-elle un point fixe ?

Sylvain qui aime s'instruire malgré sa mémoire de poisson rouge...blub blub

Sylvain
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> $f(z) = \frac{z}{2}$ .

Domi
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> ... si $D$ est un disque centré en $o$ .

Domi
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> La fonction de Domi n'est pas surjective.

Voilà un exemple non injectif : $f(z)=z^2$ avec $D$ le disque unité centré en l'origine.
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
Ok pour la bijection, merci !
Et pour le point fixe ?



Sylvain

- Hey dude, what are your plans for this weekend?
- Well, I think I'll work on Hilbert's 8th problem.
- Stop it, man! Get a girl and have some fun!
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> En considérant le disque ouvert D(2,2) et $f(z) = \frac{z}{2}+2$ , çà doit marcher ( calculs à vérifier ) .

Domi
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> L'exemple de Domi marche bien et il est très instructif de faire un dessin de $f(D)$, qui est l'image de $D$ par une homothétie puis une translation. On voit aussi que la suite de itérées $f^n(z)$ converge bien vers le point fixe de $f$ puisque celle-ci est contractante.. mais ce point est sur la frontière de $D$ qui est ouvert donc pas dans $D$.

Est-il possible de trouver un contre-exemple où le point fixe n'est pas adhérent à $D$ ?
Re: analyse complexe
il y a douze années
avatar
<latex> Bonne question egoroff , en effet , on sait que si $D$ est fermée , il y a un point fixe ( Brouwer ) .

Domi
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