analyse complexe

Bonjour a tous, j'ai un probleme avec une question d'un exo sur les automorphismes du plan unite

Soit $D$ le disque unite ouvert pour tout $z,w \in D$ on pose
$d(w,z)=\frac{|z-w|}{|\bar{w}z-1|}$

Soit f holomorphe de $D$ dans $D$

Montrer que pour tout $w,z \in D$, $d(f(w),f(z)) \leq d(w,z)$


J'ai voulu utiliser le theoreme de Schwartz (il me manque la
condition f(0)=0 mais ca doit pouvoir se regler) donc j'ai $|f(z)|
\leq |z|$ mais apres je n'arrive pas a l'utiliser


J'ai aussi un souci de vocabulaire sur un autre exo : soit $P$ un
polynome non constant. Montrer que chaque composante de $ \{z |
|P(z)| < c \} $ contient un zero de $P$

Je ne comprend pas ce qu'est une "composante" de cet ensemble. Si
quelqu'un pouvait m'eclairer