Unicité solution d'équa diff sans Cauchy
Bonjour tous le monde de ce Forum,
Je vous serais reconnaissant de me donner une indication sur la preuve ou un contre exemple:
On sait d'aprés un résultat de calcul différentiel que si on se donne une equation différentielle de deuxième ordre et on donne la valeurs de la solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$ alors on peut affirmer que la solution est unique.
Je pose le problème de la façon suivante:
On se donne une equation différentielle de deuxième ordre et sachant que j'ai démontré que ses solutions appatiennent à $L^{2}(R)$. Si j'impose la condition suivante :
La norme 2 de ma solution soit égale à 1 au lieu de donner la valeurs de cette solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$.
NB: Je veux dire par norme 2 d'une fonction $f\in{L^{2}(R)}$ le réel suivant:
$$||f||_{2}=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt\right)^{1/2}$$
Ma question est: Est ce que j'aurais l'unicité de la solution comme dans le premier cas.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni
Je vous serais reconnaissant de me donner une indication sur la preuve ou un contre exemple:
On sait d'aprés un résultat de calcul différentiel que si on se donne une equation différentielle de deuxième ordre et on donne la valeurs de la solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$ alors on peut affirmer que la solution est unique.
Je pose le problème de la façon suivante:
On se donne une equation différentielle de deuxième ordre et sachant que j'ai démontré que ses solutions appatiennent à $L^{2}(R)$. Si j'impose la condition suivante :
La norme 2 de ma solution soit égale à 1 au lieu de donner la valeurs de cette solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$.
NB: Je veux dire par norme 2 d'une fonction $f\in{L^{2}(R)}$ le réel suivant:
$$||f||_{2}=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt\right)^{1/2}$$
Ma question est: Est ce que j'aurais l'unicité de la solution comme dans le premier cas.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni
Réponses
-
S'il s'agit d'une gentille équadiff linéaire du deuxième ordre, alors les solutions sont de la forme af+bg, avec a et b deux scalaires quelconques.
Fixer la norme 2 ne suffit donc largement pas (une condition pour deux inconnues). -
Il ne faut pas résumer le théorème de Cauchy Lipschitz par : 2 conditions ==> unicité.
Exemple: le problème de Dirichlet y"=-y avec y(0)=y(pi)=0 admet une infinité de solutions sur R bien qu'il y ait deux conditions données. -
"Il ne faut pas résumer le théorème de Cauchy Lipschitz par : 2 conditions ==> unicité."
Certes, mais personne n'a fait cela ici. -
Merci bien pour vos réponses.
@ johann: tu as raison il n'y a pas unicité de la solution surtout lorsque mon equadiff est linéaire. En effet si est solution de mon problème du premier message cad si f est solution de mon equadiff et vérifiant la norme 2 de
f = 1 alors -f est aussi solution de mon problème.
Mais si j'impose à ma solution f de prendre la valeur 1 en 1 et de vérifier
la norme 2 de f = 1, est ce que j'aurais l'unicité de la solution comme ça?
A priori oui sauf si on donne un contre exemple. je l'ai démontré mais je parle d'une manière intuitive.
Je dis intuitive parce que j'ai remplacer les deux conditions: donner la valeurs de cette solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$ qui donne l'unicité de la solution, par les deux conditions suivantes:
* f doit prendre la valeur 1 en 1
* la norme 2 de f = 1
ma question est ce que j'ai l'unicité sous ces deux nouvelles conditions
Merci bien davantage pour l'aide.
Amicalement
Moumni -
A vue de nez, il n'y a pas unicité, car on peut penser à une infinité de fonctions qui valent 1 en 1, qui n'ont pas la même dérivée en 1 et qui ont la même norme (La norme choisie est globale et ne dépend pas des valeurs prises en 1).
Cordialement -
@ GERARD Est ce que je pourrais avoir un contre exemple ???<BR>
-
Question de Moumni :
* f doit prendre la valeur 1 en 1
* la norme 2 de f = 1
bonjour, Moumni,
avec ça, je ne sais pas, quoique je pense que la réponse est non (je cherche un contrex). Mais voici un pb approchant, où la norme est sur $[0, 2\pi]$ :
f sol. de y"+y=0, f(0)=0, ||f||_2=1 donne deux solutions (opposées).
Amitiés, J_J -
Ce à quoi je pense est : il existe une ED_2 linéaire dont les sol. maximales sont les C.L. de $x\to\text{e}^{-x^2}$ et $x\to x\text{e}^{-x^2}$, car leur wronskien ne s'annule jamais. Toutes sont L$^2$. Imposer $f(0)=1$ va donner une droite affine de solutions qui devrait couper la boule unité de L$^2$ en deux points, et non un seul. Je vérifierai qd j'aurai du papier !
Amitiés, J_J -
@ john-john
Merci pour les réponses, je vais chercher quelle equadiff dont les solutions sont
$x\rightarrow{e^{-x^{2}}}$ et $x\rightarrow{xe^{-x^{2}}}$ et je t'ecrirais demain
Merci bien encore une autre fois pour les réponses
Amicalement
Moumni -
Bonjour, Moumni\par L'exemple propos\'e vendredi marche presque, mais il faut simplement imposer
$||f||=2$ au lieu de~$1$ pour avoir deux solutions. Donc, voici : les fonctions
$f_0\,:\,x\to\text{e}^{-x^2}$ et $f_1\,:\,x\to x\text{e}^{-x^2}$ sont solutions de
$E\,:\,y''=p(x)y'+q(x)y$, avec $p(x)=-4x$ et $q(x)=-4x^2-2$ (sauf erreur de calcul, d'ailleurs sans
incidence sur la suite). On obtient $(p,\,q)$ en r\'esolvant, pour tout $x$, le syst\`eme
$f''_0=pf'_0+qf_0,\,f''_1=pf'_1+qf_1$ dont le d\'eterminant est le wronskien, jamais nul, de
$(f_0,\,f_1)$. Vu les th\'eor\`emes g\'en\'eraux sur les E.D. lin\'eaires r\'esolues en $y''$, la
solution g\'en\'erale de $E$ est $\lambda f_0+\mu f_1$. Toutes ces solutions sont dans L$^2$, et les
solutions v\'erifiant en outre $f(0)=1$ sont les $f_0+\mu f_1$. On a $||f_0||^2=\pi/2 -
Euh et a t'on le droit de dire 2 conditions indépendantes => unicité de la solution ???
car dans le ca y''=-y et y(pi)=y(0)=0 il y a une infinité de solutions car on donne en fait 2 fois la même condition... -
et qu'est ce que tu veux dire par conditions indépendantes????????
-
Exemple en prenant la même Equation et en prenant comme conditions y(Pi/2)=0 et y(0)=1 j'obtiens bien une et une seule solution
car la solution générale s'ecrivant Acos(t)+Bsin(t), on a
B=0 et A=1
Alors que avec les Condtions initiales précédentes on avait
-A=0 et A=0 donc deux fois la même conditions...
tu vois ce que je veux dire? -
Si toujours avec la mm ED on avait imposé
y(0)=0 et y'(Pi/2)=0 je retombe sur les mêmes conditions!!! -
oui je vois maintenant. et si je reviens au premier message que j'ai posté.
Sous quelles conditions l'equation différentielle suivante admet une unique solyution analytiques sur $R$.
$$(1-x^2)y^{''}-2xy^{'}+(\lambda-c^{2}x^{2})y=0$$
ou c et $\lambda$ sont deux réel strictement positif.
Remarque: Je ne sais pas pourquoi si je fais l'aperçu mon équation différentielle n'apparait pas. C'est bizarre non????????
Au secours les modérateurs et toutes mes éxcuse pour le dérangements
Amicalement
Moumni -
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