Continuité d'une fonction

karim0 · April 2006

Bonsoir,

En considérant la fonction suivante,

$f(x) = |x|^{\frac{1}{x-1}}$

Sur quels intervalles est-elle continue? Et surtout pourquoi?

Merci d'avance.

TV0 · April 2006

Bonjour,

Par composition de fonctions continues, f est continue sur tout intervalle de l'ensemble de définition.

Cordialement

TV

TV0 · April 2006

Peut-être que ta question est-elle mal formulée et que tu veux savoir si on peut la prolonger par continuité en 1.

Je pense qu'on peut en se servant de la formule :
$a^x = e^{x lna}$
et en cherchant la limite en 1.

Cordialement

TV

TV0 · April 2006

Il faut regarder ce qui se passe en 0

Cordialement

TV

karim0 · April 2006

A priori, l'ensemble de définition est $\mathbb{R}-{1}$ ... non?
Si tel est le cas, le fait de dire "par composition de fonctions continues sur $D_f$"suffit-il à justifier que $f$ est continue sur $$\mathbb{R}-{1}$?

En ce qui concerne la prolongation par continuité en $1$, pourriez-vous détailler la façon de procéder? En effet, nous ne l'avons que très brièvement abordé en cours, et de ce fait, je ne sais comment rédiger cela...

Merci à vous.

karim0 · April 2006

A priori, l'ensemble de définition est $\mathbb{R}-{1}$ ... non?
Si tel est le cas, le fait de dire "par composition de fonctions continues sur $D_f$"suffit-il à justifier que $f$ est continue sur $$\mathbb{R}-{1}$?

En ce qui concerne la prolongation par continuité en $1$, pourriez-vous détailler la façon de procéder? En effet, nous ne l'avons que très brièvement abordé en cours, et de ce fait, je ne sais comment rédiger cela...

Merci à vous.

karim0 · April 2006

A priori, l'ensemble de définition est $\mathbb{R}-(1)$ ... non?
Si tel est le cas, le fait de dire "par composition de fonctions continues sur Df"suffit-il à justifier que f est continue sur $\mathbb{R}-(1)$?

En ce qui concerne la prolongation par continuité en $1$, pourriez-vous détailler la façon de procéder? En effet, nous ne l'avons que très brièvement abordé en cours, et de ce fait, je ne sais comment rédiger cela...

Merci à vous.

Alain Debreil · April 2006

A priori, l'ensemble de définition est $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ ... non ?
Si tel est le cas, le fait de dire "par composition de fonctions continues sur $D_f$" suffit-il à justifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ ?

En ce qui concerne la prolongation par continuité en $1$, pourriez-vous détailler la façon de procéder ?
En effet, nous ne l'avons que très brièvement abordé en cours, et de ce fait, je ne sais comment rédiger cela...
Merci à vous.

Alain Debreil · April 2006

Bonsoir Karim

Pour rédiger correctement cette question de la continuité, il faut d'abord comme te l'a indiqué TV, reformuler l'expression de la fonction $f$ en
$f(x) = \exp(\frac{1}{1-x}\ln |x|)$
Ensuite tu détailles chaque composante de l'expression de $f(x)$
$\bullet\quad$ L'application $x \mapsto \frac{1}{x-1}$ est définie et continue sur $\R\setminus \{1\}$
$\bullet\quad$ L'application $x\mapsto \ln |x|$ est définie et continue sur $\R\setminus\{0\}$ (voir ton cours)
$\bullet\quad$ L'application $x\mapsto \exp(x)$ est définie et continue sur $\R$
Alors tu en déduis que $\D_f = \R\setminus\{0,1\}$ et que par composition de fonctions continues sur $ D_f,\ f$ y est continue.
Voila.

Alain

Alain Debreil · April 2006

$ f(x) = \exp(\frac{1}{x-1}\ln \vert x\vert)$

TV0 · April 2006

Il y a une erreur sur le domaine de définition.
Regardez ce qui se passe en 0 sachant que $ a^y = e^{y ln a } $ pour a > 0
.

En 1, $ f(x) = e^{ \frac { ln x } { x - 1} } $

La limite en 1 de $\frac { ln x } { x - 1} $ est bien connue, c'est le nombre dérivé en 1 de ln.

On doit trouver que la limite en 1 de f(x) est e.

On prolonge f en 1 en posant f(1) = e et f est donc continue en 1.

Cordialement

TV

jean Lismonde0 · April 2006

bonjour

ln|x|/(x-1) n'est pas définie pour x=0 ni pour x=1

mais pour x tendant vers 1 elle admet une limite égale à 1

donc l'intervalle de définition de f =|x|^[1/(x-1)] est R privé de 0 et 1

pour x=0 elle n'est ni définie, ni continue
(la courbe admet une asymptote verticale x=0)

pour x tendant vers 1 elle admet une limite égale à e,
f est donc continue en ce point

bonne journée

Kariml · April 2006

Merci à vous tous de vos précisions!
Cependant, d'autres questions ...

TV, vous dîtes qu'en 1, $ f(x) = e^{ \frac { ln x } { x - 1} } $ Pourquoi?

De plus, vous dîtes que la limite en 1 de $ \frac { ln x } { x - 1} $ est bien connue .. mais pas par moi! Ou du moins, je ne m'en souviens pas. Comment y parvient-on? C'est surtout la façon d'y arriver qui m'intéresse.

Merci d'avance.

TV0 · April 2006

Bonjour,

Je dis qu'au voisinnage de 1, 1 exclu, |x| = x.
Donc $f(x) = e^{ln {x}}^{\frac {1} {x-1}}}= e^{\frac {ln x} {x - 1}}$

Si on appelle $g$ la fonction ln.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}
\frac{ln x}{x -1}= \lim_{x\rightarrow 1}
\frac{ln x - ln 1}{x -1}= g'(1) = 1}$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} f(x) = \lim_{x\rightarrow 1}
e^{\frac{ln x}{x -1}}= e^1 = e}$

La limite en est e et non 1, j'ai vérifié avec Dérive. Il suffit de tracer la courbe pour s'en convaincre.

Cordialement

TV

Je n'arrive pas à voir l'aperçu, je ne sais pas si mon LaTeX est correct.

karim0 · May 2006

Bonsoir,

Quelle transformation faire sur la fonction f pour trouver sa limite en $+ \infty$?
D'autre part, si on me demande de trouver sa limite en $- \infty$, dois-je dire que c'est impossible étant donné que ln n'est définie que sur IR+*?

TV0 · May 2006

Bonjour,

$ f(x) = |x|^{\frac{1}{x-1}} = e^{\frac {ln |x| } {x-1} }$ donc existe sur $\R^*$ (si on l'a prolongé en 1).

En $+\infty$ on sait que la limite de $ \frac {ln(x)} {x} $ est 0 et $|x| = x $.
$ \frac {ln(x)} {x-1} = \frac {ln(x)} {x} \frac {1} {1 - \frac {1} {x}} $
donc la limite est 0 et celle de $f(x)$ est 1.

En $- \infty $ on remplace x0 et cela donne $f(y) =|-y|^{\frac{1}{-y-1}} = e^{\frac {ln y } {-y-1} }$.
On cherche la limite en $+ \infty$, même méthode et on trouve 1.

Cordialement
TV