CV uniforme série de fonctions

Bonjour,

cette serie est effectivement uniformement convergente sur $\mathbb{R}_+$ en entier.

On a, pour $N\geq 1$

$\sum_{k = N}^{\infty} \frac{x e^{-nx}}{\log(n)} \leq \frac{1}{\log N}\sum_{k = N}^{\infty} x e^{-nx} = \frac{e^{-Nx}}{\log N}\frac{x}{1-e^{-x}} \leq \frac{1}{\log N}\frac{x e^{-x}}{1 - e^{-x}} \leq \frac{M}{\log N}$

car la fonction $f(x) = \frac{x e^{-x}}{1- e^{-x}}$ définit sur $\mathbb{R}_+$ se prolonge par continuité en $0$ et est bornée sur $\mathbb{R}_+$ en entier...

On a donc bien la convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+$ en entier, d'autre part, il est très facile de voir que l'on a la convergence normale de cette serie sur tout les intervalles du type $[a,\infty)$ avec $a>0$.

A+