Fonction réglée

Si tu en doutes, il faut te rappeler que pour une fonction croissante : limite à droite en x0 est égal au sup({f(x); x < x0})

Pour la limite à gauche, et toujours si f est croissante, on a $f(a)\leq{}f(x)$ et de même la limite à gauche est l'inf de {f(x); x > x0}. En fait, cela ne change rien. J'ai donné l'exemple de la limite à droite mais évidemment à gauche ça marche aussi.

En fait j'ai mis ce titre car c'est le titre du chapitre sur lequel je suis en train de travailler et cet exercice en fait partie.
Merci pour la réponse

[Je me permets de modifier le titre. AD]

Si on définit une fonction réglée comme étant une fonction de $[a;b]$ ayant en tout point une limite à gauche ou à droite (no comment sur $a$ et $b$). Comment on montre que les fonctions réglées sont bornées ? ($a$ et $b$ sont finis).

Je bloque à l'étape suivante on suppose qu'il existe une suite de points $x_{n}$ telle que
$$
\lim_{n\rightarrow + \infty}|f|(x_{n})= + \infty.

$$ Et j'extrais une sous-suite convergente de $x_{n}$ vers $\alpha$ mais après je ne vois pas comment conclure. Ma difficulté vient que je ne sais pas dire grand chose sur les limites de $f(x_{n})$. Toutefois je sais que $f$ admet une limite finie en $\alpha$. Ainsi il existe un voisinage $V =\, ]\alpha - \eta ; \alpha[$ tel que sur $V $ on a $|f| \le A$ pour $A \in \mathbb{R}$. Et dans ce voisinage il existe une infinité de termes de la suite. Et on arrive à une contradiction si on a des termes de la suite tels que $f(x_{\varphi(n)})$ converge vers $+ \infty$ ce qui n'est pas nécessairement le cas. Je pense qu'après extraction on peut perdre cette propriété.

Ah non c'est bon on a bien
$$
\lim_{n\rightarrow + \infty}|f|(x_{\varphi(n)})= + \infty.

$$ Du coup c'est bon, merci !