série entière

Je ne sais pas si ça peut vraiment se faire explicitement : pour $p=2$, ça s'exprime déjà avec des fonctions de Bessel. Mais après, tout dépend de ce qu'on entend par "déterminer"...

Ben oui, mais que signifie calculer ? Exprimer à l'aide de fonctions exp, log, sin, cos, et puissances de $x$ ? Si oui, je crains que ça ne soit pas faisable en général, étant donné que pour $p=2$, on est déjà confronté à des fonctions spéciales, type Bessel... Si c'est exprimer sous une autre forme, par exemple, intégrale à paramètre, là, c'est une autre histoire.
Pour $p=2$, on a par exemple :
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} exp(2 \sqrt{x} \, sin(t)) dt$$

Mais l'énoncé me semble louche...

Dans le cas général il faut résoudre une équa diff de degré p ... Apparemment la méthode brutale n'est pas adaptée.