Inégalité : pi^9 < 10 e^8 ?
dans Analyse
Montrer que : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="73" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/3/86720/cv/img1.png" ALT="$ \pi^9e^{-8}<1$"></SPAN>
<BR>
<BR>Challenger.<BR>
<BR>
<BR>Challenger.<BR>
Réponses
-
Puisque $\pi > 3 > e$, on a $\ln (\pi) > 1$ et donc $9 \ln(\pi) > 9 > 8$. L'inégalité proposée est donc fausse, à moins que quelque chose ne m'ait échappé.
Peut-être était-ce : {\it montrer que} $\pi^8 e^{-9} >1$ ?
Borde. -
Je m'ai trompé, Borde, c'est :$$\pi^9e^{-8}
-
Dans quel cadre faut il démontrer ceci ?
Car les majorations devront être assez fines...
Le résultat fait 9,9998388 d'après google
<http://www.google.fr/search?hl=fr&q=Pi^9*e^(-8)&btnG=Recherche+Google&meta=> -
Euh...je me pose effectivement la question.
<BR>Qu'admet-on? Que démontre-t-on?
<BR>L'idée m'est venu de <a href=" http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html"> http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html</a>
<BR>
<BR>Challenger<BR> -
On a : pi < 3,141594 et e < 2,71828
Et l'inégalité suit.
Michiel -
Une solution : on démontre que ${\left( {\sum\limits_{k = 0}^{22} {\frac{{8^k }}{{k!}}} } \right) - \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{355}}{{113}}} \right)^9 > 0}$ et que $\pi < \frac{{355}}{{113}}$ ,d'où la réponse.
Cordialement Yalcin -
On peut considerer que $\pi ^9 e^{-8} = 10$, ce qui prouve que $\pi $ et $e$ sont algebriquement dependants sur $\Bbb Q $.
lol (:o)
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Bonjour!
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