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intégrale d'une racine

Envoyé par Richard 
intégrale d'une racine
il y a huit années
<latex> Je dois trouver une primitive :

$$ \int \sqrt{x^2 \pm 1}\mathrm{d}x$$

J'ai essayé plusieurs changement de variables, sans succès ...

En fait, je ne connais pas de méthode pour intégrer des fonctions en racine carrée.
B_J
Re: intégrale d'une racine
il y a huit années
par parties en posant u=racine(1+/- x²) et v'=1
bonjour

une primitive de rac(x²+a) sera (avec k constante réelle)

k + (x/2).rac(x²+a) + (a/2).ln(x+rac(x²+a))

si a constante réelle est négative il faudra - rac(-a) < x < rac(-a)

c'est un résultat obtenu par changement de variables

x=sh(t).rac(a) si a > 0

x=ch(t).rac(-a) si a < 0

cordialement
B_J
Re: intégrale d'une racine
il y a huit années
Voilà ce que tu doit trouver à une constante près :


Re: intégrale d'une racine
il y a huit années
<latex> Ca marche en effet très bien !!

Merci beaucoup !

Existe-t-il une méthode "générale" pour se ramener à des fractions rationnelles pour une fonction avec des racines carrées; par exemple pour $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^4+9}} $ ?

PS: B_J, dans ta dernière expression, on peut remplacer $\sinh^{-1}$ par $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ce qui au final nous ramène à une seule expression avec un $\pm$ !
fb
Re: intégrale d'une racine
il y a huit années
<latex> La dernière question que tu poses est très intéressante. Il n'y a pas de primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^4+9}}$ (ou plus généralement de $\frac{1}{\sqrt{P(x)}}$ avec $P$ polynôme de degré au moins 3 à racines simples) que l'on puisse exprimer en termes des fonctions élémentaires. C'est ce qui a mené à la théorie des fonctions elliptiques et aux découvertes d'Abel, Jacobi au début du 19ème siècle...
Guimauve
Re: intégrale d'une racine
il y a huit années
<latex> En revanche, on sait toujours intégrer les fonctions de la forme $\frac{P}{Q} (x, \sqrt{\alpha x^2 + \beta x + \gamma})$ où P et Q sont des polynômes en deux variables.
Re: intégrale d'une racine
il y a cinq années
Bonjour

Je dois faire calculer l'intégrale de racine(x²+1) mais j'ai un petit problème...

Par la méthode "par parties", on doit faire le calcul de l'intégrale de 1/(racine(x²+1))

Ceci me pose un petit problème, j'ai fait une changement de variable mais ça ne me donne pas une solution correcte...

Merci pour votre aide



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: intégrale d'une racine
il y a cinq années
Bonjour.

Pose x = sh(t).

Cordialement.

NB : La réponse est déjà dans ce fil.
Re: intégrale d'une racine
il y a cinq années
Richard écrivait:
-------------------------------------------------------
> Ca marche en effet très bien !!
> Merci beaucoup !
> Existe-t-il une méthode "générale" pour se ramener à des fractions rationnelles pour une fonction
> avec des racines carrées; par exemple pour $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^4+9}} $ ?
$$\int_0^\infty \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{t^4+1}}$$
s'exprime avec une fonction beta si mes souvenirs sont bons.
Par contre trouver une primitive, ça doit pas être possible sous forme de fractions usuelles. On sait exprimer des primitives pour les $R(t, \sqrt{P(t)})$ avec $R$ fraction rationnelle quand $P$ est de degré au plus deux : poser $u = \sqrt{P(t)}$ si le degré de $P$ est $1$ et utiliser les astuces indiquées ci-dessus (forme canonique puis $\sin$ ou $\mathrm{sh}$) quand il vaut $2$.


[Edit : en français la tradition veut qu'on note $\mathrm{sh}$ le sinus hyperbolique]
Je dois trouver une primitive : racine(x^4+1)
THANKS
Re: Je dois trouver une primitive : racine(x^4+1)
il y a cinq années
Bonjour,
On ne peut pas exprimer une primitive à l'aide des fonctions dites usuelles, si c'est ce que tu cherches.
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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