intégrale d'une racine

Je dois trouver une primitive :

$$ \int \sqrt{x^2 \pm 1}\mathrm{d}x$$

J'ai essayé plusieurs changement de variables, sans succès ...

En fait, je ne connais pas de méthode pour intégrer des fonctions en racine carrée.

Ca marche en effet très bien !!

Merci beaucoup !

Existe-t-il une méthode "générale" pour se ramener à des fractions rationnelles pour une fonction avec des racines carrées; par exemple pour $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^4+9}} $ ?

PS: B_J, dans ta dernière expression, on peut remplacer $\sinh^{-1}$ par $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ce qui au final nous ramène à une seule expression avec un $\pm$ !

La dernière question que tu poses est très intéressante. Il n'y a pas de primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^4+9}}$ (ou plus généralement de $\frac{1}{\sqrt{P(x)}}$ avec $P$ polynôme de degré au moins 3 à racines simples) que l'on puisse exprimer en termes des fonctions élémentaires. C'est ce qui a mené à la théorie des fonctions elliptiques et aux découvertes d'Abel, Jacobi au début du 19ème siècle...

En revanche, on sait toujours intégrer les fonctions de la forme $\frac{P}{Q} (x, \sqrt{\alpha x^2 + \beta x + \gamma})$ où P et Q sont des polynômes en deux variables.

Richard écrivait:
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> Ca marche en effet très bien !!
> Merci beaucoup !
> Existe-t-il une méthode "générale" pour se ramener à des fractions rationnelles pour une fonction
> avec des racines carrées; par exemple pour $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^4+9}} $ ?
$$\int_0^\infty \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{t^4+1}}$$
s'exprime avec une fonction beta si mes souvenirs sont bons.
Par contre trouver une primitive, ça doit pas être possible sous forme de fractions usuelles. On sait exprimer des primitives pour les $R(t, \sqrt{P(t)})$ avec $R$ fraction rationnelle quand $P$ est de degré au plus deux : poser $u = \sqrt{P(t)}$ si le degré de $P$ est $1$ et utiliser les astuces indiquées ci-dessus (forme canonique puis $\sin$ ou $\mathrm{sh}$) quand il vaut $2$.


[Edit : en français la tradition veut qu'on note $\mathrm{sh}$ le sinus hyperbolique]



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par kebab.

Bonjour,
On ne peut pas exprimer une primitive à l'aide des fonctions dites usuelles, si c'est ce que tu cherches.