intégrale d'une racine

Richard · May 2006

Je dois trouver une primitive :

$$ \int \sqrt{x^2 \pm 1}\mathrm{d}x$$

J'ai essayé plusieurs changement de variables, sans succès ...

En fait, je ne connais pas de méthode pour intégrer des fonctions en racine carrée.

B_J · May 2006

par parties en posant u=racine(1+/- x²) et v'=1

jean Lismonde0 · May 2006

bonjour

une primitive de rac(x²+a) sera (avec k constante réelle)

k + (x/2).rac(x²+a) + (a/2).ln(x+rac(x²+a))

si a constante réelle est négative il faudra - rac(-a) < x < rac(-a)

c'est un résultat obtenu par changement de variables

x=sh(t).rac(a) si a > 0

x=ch(t).rac(-a) si a < 0

cordialement

B_J · May 2006

Voilà ce que tu doit trouver à une constante près : 4366

Richard · May 2006

Ca marche en effet très bien !!

Merci beaucoup !

Existe-t-il une méthode "générale" pour se ramener à des fractions rationnelles pour une fonction avec des racines carrées; par exemple pour $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^4+9}} $ ?

PS: B_J, dans ta dernière expression, on peut remplacer $\sinh^{-1}$ par $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ce qui au final nous ramène à une seule expression avec un $\pm$ !

fb0 · May 2006

La dernière question que tu poses est très intéressante. Il n'y a pas de primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^4+9}}$ (ou plus généralement de $\frac{1}{\sqrt{P(x)}}$ avec $P$ polynôme de degré au moins 3 à racines simples) que l'on puisse exprimer en termes des fonctions élémentaires. C'est ce qui a mené à la théorie des fonctions elliptiques et aux découvertes d'Abel, Jacobi au début du 19ème siècle...

Guimauve0 · May 2006

En revanche, on sait toujours intégrer les fonctions de la forme $\frac{P}{Q} (x, \sqrt{\alpha x^2 + \beta x + \gamma})$ où P et Q sont des polynômes en deux variables.

parham · November 2009

Bonjour

Je dois faire calculer l'intégrale de racine(x²+1) mais j'ai un petit problème...

Par la méthode "par parties", on doit faire le calcul de l'intégrale de 1/(racine(x²+1))

Ceci me pose un petit problème, j'ai fait une changement de variable mais ça ne me donne pas une solution correcte...

Merci pour votre aide

gerard0 · November 2009

Bonjour.

Pose x = sh(t).

Cordialement.

NB : La réponse est déjà dans ce fil.

kebab · November 2009

Richard écrivait:

> Ca marche en effet très bien !!
> Merci beaucoup !
> Existe-t-il une méthode "générale" pour se ramener à des fractions rationnelles pour une fonction
> avec des racines carrées; par exemple pour $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^4+9}} $ ?
$$\int_0^\infty \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{t^4+1}}$$
s'exprime avec une fonction beta si mes souvenirs sont bons.
Par contre trouver une primitive, ça doit pas être possible sous forme de fractions usuelles. On sait exprimer des primitives pour les $R(t, \sqrt{P(t)})$ avec $R$ fraction rationnelle quand $P$ est de degré au plus deux : poser $u = \sqrt{P(t)}$ si le degré de $P$ est $1$ et utiliser les astuces indiquées ci-dessus (forme canonique puis $\sin$ ou $\mathrm{sh}$) quand il vaut $2$.

[size=x-small][Edit : en français la tradition veut qu'on note $\mathrm{sh}$ le sinus hyperbolique][/size]