Limites
Bonjour ,
Dans un cours de topologie d' {\bf un espace métrique} , l'auteur définit la limite d'une fonction avec ces hypothèses:
$(E,d)$ et $(E',d')$ sont deux espaces métriques et $f$ une application de
$D \subset E \longrightarrow E'$. Puis il considère $ A \subset D$ et
$a \in Adh(A)$ (puis $l \in E'$) avant de définir la limite.
Je voudrais savoir pourquoi serait-il nécessaire d'introduire $A$ ici? Ne peut-on pas définir la limite de $f$ en $a$ sur $D$ directement , avec
$a \in Adh(D)$?
Mon deuxième problème est $\Q$. On peut exhiber une suite de rationnels tendant vers un irrationnel , ce qui montre bien que $\Q$ est ouvert? Pourquoi alors aurait-on $Int(\Q) =\emptyset$?
Merci pour vos réponses.
Jabir.
Dans un cours de topologie d' {\bf un espace métrique} , l'auteur définit la limite d'une fonction avec ces hypothèses:
$(E,d)$ et $(E',d')$ sont deux espaces métriques et $f$ une application de
$D \subset E \longrightarrow E'$. Puis il considère $ A \subset D$ et
$a \in Adh(A)$ (puis $l \in E'$) avant de définir la limite.
Je voudrais savoir pourquoi serait-il nécessaire d'introduire $A$ ici? Ne peut-on pas définir la limite de $f$ en $a$ sur $D$ directement , avec
$a \in Adh(D)$?
Mon deuxième problème est $\Q$. On peut exhiber une suite de rationnels tendant vers un irrationnel , ce qui montre bien que $\Q$ est ouvert? Pourquoi alors aurait-on $Int(\Q) =\emptyset$?
Merci pour vos réponses.
Jabir.
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Réponses
Tu ne montres en aucun cas que $\Q$ est ouvert, car un ensemble n'est pas soit ouvert soit fermé, par exemple $[0,1[$ dans $\R$
Et $A$ , à quoi sert-il ici?
Jabir.
Revenons en au problème précédent (par pitié laissez tomber $\Q$ , j'ai compris...)
Jabir.
\begin{equation*}
\lim_{\substack{x \rightarrow a\\ x \in A}} f(x)
\end{equation*}
En revanche, selon moi il n'est pas nécessaire d'introduire $D \subset E$, autant considérer une fonction définie sur $E$ tout entier, quitte à changer $E$.
Effectivement je pensais qu'il était plus simple de considérer une fonction :
$f : D \longrightarrow F$ ( $D$ étant naturellement muni de la topologie induite, donc çà ne pose pas de problème) et introduire $A$ effcetivement pour définir précisément la limite selon $A$ (à droite ou à gauche pour $\R$).
Jabir.